题目描述
有N个村庄坐落在一条直线上，第i(i>1)个村庄距离第1个村庄的距离为Di。需要在这些村庄中建立不超过K个通讯基站，在第i个村庄建立基站的费用为Ci。如果在距离第i个村庄不超过Si的范围内建立了一个通讯基站，那么就村庄被基站覆盖了。如果第i个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为Wi。现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行包含两个整数N,K，含义如上所述。
第二行包含N-1个整数，分别表示D2,D3,…,DN ，这N-1个数是递增的。
第三行包含N个整数，表示C1,C2,…CN。
第四行包含N个整数，表示S1,S2,…,SN。
第五行包含N个整数，表示W1,W2,…,WN。
输出格式：
输出文件中仅包含一个整数，表示最小的总费用。
输入输出样例
输入样例#1：
3 2 1 2 2 3 2 1 1 0 10 20 30
输出样例#1：
4
说明
40%的数据中，N<=500；
100%的数据中，K<=N，K<=100，N<=20,000，Di<=1000000000，Ci<=10000，Si<=1000000000，Wi<=10000。
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记f[i][j]f[i][j]表示在第ii个村庄修建第jj个基站且不考虑第i + 1i+1~nn个村庄所需的最小费用。
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则转移方程为f[i][j] = Min(f[k][j - 1] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 le k < i)f[i][j]=Min(f[k][j−1]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。其中cst[k][i]cst[k][i]表示第ii~kk个村庄之间没有被基站i, ki,k覆盖的村庄所需的赔偿费用，计算费用的复杂度为O(n)O(n)，则总复杂度为O(n^2k)O(n2k)。
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这样显然是不能通过的，我们考虑如何优化：
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首先我们发现之前的转移方程可以去掉一维jj，实际上只要在最外层枚举jj就可以了，也就是f[i] = Min(f[k] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 le k < i)f[i]=Min(f[k]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。
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而主要的消耗在计算cst[k][i]cst[k][i]上，也就是有多少个村庄需要赔偿。
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对于任意一个村庄ii，记它所能被覆盖的左右边界st[i], ed[i]st[i],ed[i]（最左端、最右端可以覆盖到ii的基站位置，可用二分查找处理），然后在用邻接表记录eded值为ii的村庄有哪些，在这些村庄之前建立基站就覆盖不到ii了。
- 这样当我们推导i + 1i+1时，若从村庄11~st[k] - 1(ed[k] = i)st[k]−1(ed[k]=i)转移过来则必定要赔偿村庄kk的费用，我们就可以考虑用线段树来维护f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的值，即在区间[1, st[k] - 1][1,st[k]−1]加上村庄kk的费用，而转移即在区间[1, i - 1][1,i−1]找f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的最小值，总复杂度为O(nlogn imes k)O(nlogn×k)。
但是不知道为什么怎么调都不对，。。。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<cstring> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #define INF 0x7ffff 9 #define ls k<<1 10 #define rs k<<1|1 11 using namespace std; 12 const int MAXN=4e4+5; 13 inline void read(int &n) 14 { 15 char c='+';bool flag=0;n=0; 16 while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();if(c=='-')flag=1;} 17 while(c>='0'&&c<='9')n=n*10+c-48,c=getchar(); 18 } 19 struct node 20 { 21 int u,v,nxt; 22 }edge[MAXN]; 23 int head[MAXN]; 24 int num=1; 25 inline void add_edge(int x,int y) 26 { 27 edge[num].u=x; 28 edge[num].v=y; 29 edge[num].nxt=head[x]; 30 head[x]=num++; 31 } 32 struct T 33 { 34 int l,r,w,tag; 35 }tree[MAXN]; 36 int n,k; 37 int D[MAXN]; 38 int C[MAXN]; 39 int S[MAXN]; 40 int W[MAXN]; 41 int st[MAXN]; 42 int ed[MAXN]; 43 int dp[MAXN];// 修建了i个基站的费用 44 int ans; 45 inline void update(int k) 46 { 47 tree[k].w=min(tree[ls].w,tree[rs].w); 48 } 49 inline void pushdown(int k) 50 { 51 if(!tree[k].tag) return ; 52 tree[ls].w+=tree[k].tag; 53 tree[ls].tag+=tree[k].tag; 54 tree[rs].w+=tree[k].tag; 55 tree[rs].w+=tree[k].tag; 56 tree[k].tag=0; 57 } 58 inline void Build_Tree(int k,int ll,int rr) 59 { 60 tree[k].tag=0; 61 tree[k].l=ll;tree[k].r=rr; 62 if(ll==rr) 63 { 64 tree[k].w=dp[ll]; 65 return ; 66 } 67 int mid=(ll+rr)>>1; 68 Build_Tree(ls,ll,mid);Build_Tree(rs,mid+1,rr); 69 update(k); 70 } 71 inline int query(int k,int ql,int qr) 72 { 73 if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr) 74 return tree[k].w; 75 pushdown(k); 76 int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; 77 if(qr<=mid) return query(ls,ql,qr); 78 else if(ql>mid) return query(rs,ql,qr); 79 else return min(query(ls,ql,mid), 80 query(rs,mid+1,qr)); 81 } 82 inline void change(int k,int ql,int qr,int val) 83 { 84 if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr) 85 { 86 tree[k].w+=val,tree[k].tag+=val;return ; 87 } 88 pushdown(k); 89 int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; 90 if(qr<=mid) change(ls,ql,qr,val); 91 else if(ql>mid) change(rs,ql,qr,val); 92 else 93 { 94 change(ls,ql,mid,val); 95 change(rs,mid+1,qr,val); 96 } 97 update(k); 98 } 99 int main() 100 { 101 freopen("base.in","r",stdin); 102 freopen("base.out","w",stdout); 103 read(n);read(k);k++; 104 memset(head,-1,sizeof(head)); 105 for(int i=2;i<=n;i++) read(D[i]); 106 for(int i=1;i<=n;i++) read(C[i]); 107 for(int i=1;i<=n;i++) read(S[i]); 108 for(int i=1;i<=n;i++) read(W[i]); 109 ++n;D[n]=W[n]=INF; 110 for(int i=1;i<=n;i++) 111 { 112 st[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]-S[i])-D; 113 ed[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]+S[i])-D; 114 if(D[ed[i]]>S[i]+D[i]) ed[i]--; 115 add_edge(ed[i],i); 116 } 117 118 for(int i=1;i<=k;i++) 119 { 120 if(i==1) 121 { 122 int now=0; 123 for(int k=1;k<=n;k++) 124 { 125 dp[k]=now+C[k]; 126 for(int j=head[k];j!=-1;j=edge[j].nxt) 127 { 128 //cout<<edge[j].v<<" "<<W[edge[j].v]<<endl; 129 if(W[edge[j].v]==INF)continue; 130 now+=W[edge[j].v]; 131 } 132 133 } 134 ans=dp[n]; 135 } 136 else 137 { 138 Build_Tree(1,1,n);int y; 139 // for(int ii=1;ii<=10;ii++) 140 // cout<<tree[ii].w<<" "; 141 // cout<<endl; 142 for(int j=1;j<=n;j++) 143 { 144 dp[j]= ((j>(i-1)) ? query(1,i-1,j-1) : 0 )+ C[j]; 145 for(int k=head[j];k!=-1;k=edge[k].nxt) 146 if(st[y=edge[k].v]>1) 147 change(1,1,st[y]-1,W[y]); 148 } 149 ans=min(ans,dp[n]); 150 } 151 } 152 printf("%d",ans); 153 return 0; 154 }
本代码来自：https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P2605
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define sL (s << 1) 6 #define sR (s << 1 | 1) 7 8 using namespace std; 9 const int Maxn = 0x3f3f3f3f; 10 const int N = 2e4 + 5, M = N << 2; 11 int d[N], c[N], w[N], s[N], st[N], ed[N], f[N]; 12 int n, k, Ans, val[M], tag[M]; 13 14 struct point 15 { 16 int to; point *nxt; 17 }a[M], *T = a, *lst[N]; 18 19 inline void addEdge(const int &x, const int &y) {T->nxt = lst[x]; T->to = y; lst[x] = T++;} 20 template <class T> inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b? a : b;} 21 template <class T> inline void CkMin(T &a, const T &b) {if (a > b) a = b;} 22 23 inline int get() 24 { 25 char ch; bool f = false; int res = 0; 26 while (((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') && ch != '-'); 27 if (ch == '-') f = true; 28 else res = ch - '0'; 29 while ((ch = getchar()) >='0' && ch <= '9') 30 res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0'; 31 return f? ~res + 1 : res; 32 } 33 34 inline void put(int x) 35 { 36 if (x < 0) 37 x = ~x + 1, putchar('-'); 38 if (x > 9) put(x / 10); 39 putchar(x % 10 + 48); 40 } 41 42 inline void Push(const int &s) {val[s] = Min(val[sL], val[sR]);} 43 inline void Add(const int &s, const int &z) 44 {val[s] += z; tag[s] += z;} 45 46 inline void Down(const int &s) 47 { 48 if (!tag[s]) return ; 49 Add(sL, tag[s]); Add(sR, tag[s]); tag[s] = 0; 50 } 51 52 inline void Build(const int &s, const int &l, const int &r) 53 { 54 tag[s] = 0; 55 if (l == r) return (void)(val[s] = f[l]); 56 int mid = l + r >> 1; 57 Build(sL, l, mid); Build(sR, mid + 1, r); 58 Push(s); 59 } 60 61 inline int Query(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y) 62 { 63 if (l == x && r == y) return val[s]; 64 Down(s); int mid = l + r >> 1; 65 if (y <= mid) return Query(sL, l, mid, x, y); 66 else if (x > mid) return Query(sR, mid + 1, r, x, y); 67 else return Min(Query(sL, l, mid, x, mid), 68 Query(sR, mid + 1, r, mid + 1, y)); 69 } 70 71 inline void Modify(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y, const int &z) 72 { 73 if (l == x && r == y) return Add(s, z); 74 Down(s); int mid = l + r >> 1; 75 if (y <= mid) Modify(sL, l, mid, x, y, z); 76 else if (x > mid) Modify(sR, mid + 1, r, x, y, z); 77 else 78 { 79 Modify(sL, l, mid, x, mid, z); 80 Modify(sR, mid + 1, r, mid + 1, y, z); 81 } 82 Push(s); 83 } 84 85 int main() 86 { 87 n = get(); k = get() + 1; 88 for (int i = 2; i <= n; ++i) d[i] = get(); 89 for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = get(); 90 for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = get(); 91 for (int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = get(); 92 ++n; d[n] = w[n] = Maxn; 93 //当我们推导i时，我们只考虑了它和前面的基站产生的影响 94 //这时对于最后一个基站我们不会考虑它和之后的村庄产生的影响 95 //则我们可以在最后增加一个村庄 96 //保证它必定被作为基站（无建设费用）且不对前面产生影响 97 //这样就不会有遗漏的了 98 for (int i = 1; i <= n; ++i) 99 { 100 st[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] - s[i]) - d; 101 ed[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] + s[i]) - d; 102 if (d[ed[i]] > d[i] + s[i]) ed[i]--; addEdge(ed[i], i); 103 //lower_bound查找的是大于等于x的第一个数 104 //而ed[i]要求的是小于等于x的最后一个数 105 //所以判断一下减一就可以了 106 } 107 for (int i = 1; i <= k; ++i) 108 if (i == 1) 109 { 110 int res = 0; 111 for (int j = 1; j <= n; ++j) 112 { 113 f[j] = res + c[j]; 114 for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt) 115 res += w[e->to]; 116 } 117 Ans = f[n]; 118 } 119 else 120 { 121 Build(1, 1, n); int y; 122 for (int j = 1; j <= n; ++j) 123 { 124 //注意线段树区间的边界条件 125 f[j] = (j > i - 1 ? Query(1, 1, n, i - 1, j - 1) : 0) + c[j]; 126 for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt) 127 if (st[y = e->to] > 1) Modify(1, 1, n, 1, st[y] - 1, w[y]); 128 //这里其实只要修改区间[i, st[y] - 1]就行了 129 //不过询问/修改的区间长对于线段树其实更快 130 } 131 CkMin(Ans, f[n]); 132 } 133 return put(Ans), 0; 134 }