Haskell语言学习笔记（30）MonadCont, Cont, ContT

MonadCont 类型类

class Monad m => MonadCont m where
    callCC :: ((a -> m b) -> m a) -> m a
instance MonadCont (ContT r m) where
    callCC = ContT.callCC

• class Monad m => MonadCont m where
  MonadState 是个类型类，它为 ContT 等封装了CPS函数的 Monad 定义了通用接口。
  MonadState 只包含 callCC 一个函数。该函数为CPS函数提供了显式的流程控制功能。
• instance MonadCont (ContT r m) where
  callCC = ContT.callCC
  对于 ContT 这个Monad转换器来说，callCC 函数的定义由 ContT 模块来提供。注意这里点运算符的含义不是函数的合成而是受限名字。
  Hackage - Where is the MonadReader implementation for ReaderT defined?

ContT Monad转换器

newtype ContT r m a = ContT { runContT :: (a -> m r) -> m r }
instance Monad (ContT r m) where
    return x = ContT ($ x)
    m >>= k  = ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (k x) c)

• newtype ContT r m a = ContT { runContT :: (a -> m r) -> m r }
  ContT 类型是个 newtype，也就是对现有类型的封装。该类型有三个类型参数：内部 Monad 类型参数 m，中间结果类型参数 a 以及最终结果类型参数 r。
  ContT r m a 类型封装了一个CPS函数：k -> m r（通常形式为 k -> k a），通过 runContT 字段可以从 ContT 类型中取出这个函数。
• instance Monad (ContT r m) where
  ContT r m 是一个 Monad。
  对比 Monad 类型类的定义，可知 return 函数的类型签名为：
  return :: a -> ContT r m a
  大致相当于 a -> (a -> m r) -> m r
  而 bind 操作符的类型签名为：
  (>>=) :: ContT r m a -> (a -> ContT r m b) -> ContT r m b
  大致相当于 (a -> m r) -> m r -> (a -> (b -> m r) -> m r) -> (b -> m r) -> m r
• return x = ContT ($ x)
  return 函数把 a 类型的值 x 封装进了 ContT Monad 中。
  return x = ContT $ k -> k x
  这里 x 的类型为 a, k 的类型为 a -> m r，k x 的类型为 m r，
  k -> k x 的类型为 (a -> m r) -> m r，
  ContT $ k -> k x 也就是 ContT ($ x) 的类型为 ContT r m a。
• m >>= k = ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (k x) c)
  对比函数签名，可知 m 的类型为 ContT r m a，大致相当于 (a -> m r) -> m r。
  而 k 的类型为 a -> ContT r m b，大致相当于 a -> (b -> m r) -> m r。
  x 的类型为 a，c 的类型为 b -> m r。
  k x 的类型 ContT r m b，
  runContT (k x) 的类型为 (b -> m r) -> m r，
  runContT (k x) c 的类型为 m r。
  x -> runContT (k x) c 的类型为 a -> m r，
  runContT m 的类型为 (a -> m r) -> m r，
  runContT m (x -> runContT (k x) c) 的类型为 m r。
  c -> runContT m (x -> runContT (k x) c) 的类型为 (b -> m r) -> m r，
  ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (k x) c) 的类型为 ContT r m b。
• m >>= k = ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (k x) c)
  bind 操作符组合两个封装了CPS函数的 Cont Monad，计算结果仍然是一个封装了CPS函数的 Cont Monad。
  这里假设 m = ContT c1 where c1 f1 = f1 a，k = a -> ContT c2 where c2 f2 = f2 b。
  bind 操作符具体计算流程如下：
  首先通过 runContT m 把封装在 bind 操作符的左操作数 m 中的CPS函数 c1 取出来，
  c1 函数将把类型为 a 的运算结果 x 传递给 f1，也就是 (x -> runContT (k x) c) 这个函数，得到 runContT (k x) c 这个运算结果。
  然后 runContT (k x) 再把 bind 操作符的右操作数 k 中所封装的CPS函数 c2 取出来。
  c2 函数将把类型为 b 的运算结果 y 传递给 f2, 也就是最外层的函数 c，得到最终运算结果 c y。
  最后通过 ContT $ c -> c y 这一形式，把计算结果重新封装进了 ContT Monad。

证明ContT符合Monad法则：
1. return a >>= f ≡ f a
return a >>= f
≡ ContT (k -> k a) >>= f
≡ ContT $ c -> runContT (ContT (k -> k a)) (x -> runContT (f x) c)
≡ ContT $ c -> (k -> k a) (x -> runContT (f x) c)
≡ ContT $ c -> (x -> runContT (f x) c) a
≡ ContT $ c -> runContT (f a) c
≡ ContT $ runContT (f a)
≡ f a
2. m >>= return ≡ m
m >>= return
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (return x) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (ContT $ k -> k x) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> (k -> k x) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> c x)
≡ ContT $ c -> runContT m c
≡ ContT $ runContT m
≡ m
3. (m >>= f) >>= g ≡ m >>= (x -> f x >>= g)
(m >>= f) >>= g
≡ (ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (f x) c)) >>= g
≡ ContT $ c -> runContT (ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (f x) c)) (x -> runContT (g x) c)
≡ ContT $ c -> (c -> runContT m (x -> runContT (f x) c)) (x -> runContT (g x) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (f x) (x -> runContT (g x) c))
m >>= (x -> f x >>= g)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT ((x -> f x >>= g) x) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (f x >>= g) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (ContT $ c -> runContT (f x) (x -> runContT (g x) c)) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> (c -> runContT (f x) (x -> runContT (g x) c)) c)
≡ ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (f x) (x -> runContT (g x) c))

lift liftIO 函数

instance MonadTrans (ContT r) where
    lift m = ContT (m >>=)

instance (MonadIO m) => MonadIO (ContT r m) where
    liftIO = lift . liftIO

lift m 将封装在内部 Monad m 的值封装进了 ContT Monad 之中。
lift m = ContT $ k -> m >>= k
这里 m 的类型为 m a, k 的类型为 a -> m r，m >> k 的类型为 m r，
k -> m >>= k 的类型为 (a -> m r) -> m r，
ContT $ k -> m >>= k 也就是 ContT (m >>=) 的类型为 ContT r m a。

证明 ContT 中 lift 函数的定义符合 lift 的法则。
1. lift . return ≡ return
lift . return $ a
≡ lift (m a)
≡ ContT (m a >>=)
≡ ContT $ k -> m a >>= k
≡ ContT $ k -> k a
≡ return a
2. lift (m >>= f) ≡ lift m >>= (lift . f)
假设 m = n a 并且 f a = n b
于是 m >>= f = n b
lift (m >>= f)
≡ lift (n b)
≡ ContT (n b >>=)
≡ ContT $ k -> n b >>= k
≡ ContT $ k -> k b
≡ return b
lift m >>= (lift . f)
≡ ContT (n a >>=) >>= x -> ContT (f x >>=)
≡ ContT (k -> k a) >>= x -> ContT (k -> f x >>= k)
≡ ContT $ c -> runContT $ ContT (k -> k a) (x -> runContT $ ContT (k -> f x >>= k) c)
≡ ContT $ c -> (k -> k a) (x -> (k -> f x >>= k) c)
≡ ContT $ c -> (x -> (k -> f x >>= k) c) a
≡ ContT $ c -> (k -> f a >>= k) c
≡ ContT $ c -> (k -> n b >>= k) c
≡ ContT $ c -> (k -> k b) c
≡ ContT $ c -> c b
≡ return b

Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> f a = if even a then Just (a `div` 2) else Nothing
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> c = lift . f :: Int -> ContT Int Maybe Int
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> runContT (c 3) return
Nothing
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> runContT (c 4) f
Just 1
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> c = lift getLine :: ContT r IO String
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> runContT c print
abc
"abc"

callCC 函数

callCC :: ((a -> ContT r m b) -> ContT r m a) -> ContT r m a
callCC f = ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c

CallCC 是 Call With Current Continuation（对当前延续函数进行调用）的缩写，它为 ContT Monad 提供了退出的手段。
CallCC 有一个参数 f，CallCC f 返回一个 ContT Monad。
f 的类型是 (a -> ContT r m b) -> ContT r m a，也就是说 f 本身是个函数，它的返回值类型和 CallCC f 相同，都是一个ContT Monad。
f 通常采用 exit -> do ... 这种形式。

Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> runContT (callCC (exit -> exit 1) :: ContT Int Maybe Int) return
Just 1
Prelude Control.Monad.Trans.Cont Control.Monad.Trans> runContT (callCC (exit -> do{exit 1; return 2}) :: ContT Int Maybe Int) return
Just 1

也就是说只要 CallCC 的参数采用 exit -> do {...; exit a; ...} 这种形式，
那么该函数所返回的 ContT Monad 将无视 exit a 后面的处理流程，无条件地将 a 传递给外围函数。
下面看看 CallCC 函数是如何做到这一点的。

• callCC :: ((a -> ContT r m b) -> ContT r m a) -> ContT r m a
  callCC f = ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c
  ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c 类型为 ContT r m a
  c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c 类型为 (a -> m r) -> m r
  c 的类型为 a -> m r，
  runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) 的类型为 (a -> m r) -> m r，
  f (x -> ContT $ \_ -> c x) 的类型为 ContT r m a，
  f 的类型为 (a -> ContT r m b) -> ContT r m a，
  x -> ContT $ \_ -> c x 的类型为 a -> ContT r m b，x 的类型为 a，
  ContT $ \_ -> c x 的类型为 ContT r m b，
  \_ -> c x 的类型为 (b -> m r) -> m r，
  _ 的类型为 b -> m r，
  c x 的类型为 m r。
• callCC f = ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c
  这里假设 f = exit -> exit a >>= k。
  callCC f where f = exit -> exit a >>= k
  = ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c
  = ContT $ c -> runContT ((exit -> exit a >>= k) (x -> ContT $ \_ -> c x)) c
  = ContT $ c -> runContT ((x -> ContT $ \_ -> c x) a >>= k) c
  = ContT $ c -> runContT ((ContT $ \_ -> c a) >>= k) c
• m >>= k = ContT $ c -> runContT m (x -> runContT (k x) c)
  (ContT $ \_ -> c a) >>= k
  = ContT $ c -> runContT (ContT $ \_ -> c a) (x -> runContT (k x) c)
  = ContT $ c -> (\_ -> c a) (x -> runContT (k x) c)
  = ContT $ c -> c a
• callCC f where f = exit -> exit a >>= k
  = ContT $ c -> runContT ((ContT $ \_ -> c a) >>= k) c
  = ContT $ c -> runContT (ContT $ c -> c a) c
  = ContT $ c -> (c -> c a) c
  = ContT $ c -> c a
• callCC f = ContT $ c -> runContT (f (x -> ContT $ \_ -> c x)) c
  这里假设 f = exit -> exit a >>= k >>= h。
  f = exit -> exit a >>= k >>= h
  = exit -> exit a >>= (x -> k x >> h)
  = exit -> exit a >>= k' where k' = x -> k x >> h
  callCC f where f = exit -> exit a >>= k >>= h
  = callCC f where f = exit -> exit a >>= k' where k' = x -> k x >> h
  = ContT $ c -> c a

从以上推导过程可以看出 CallCC 的参数如果采用 exit -> do {...; exit a; ...} 这种形式，
该函数所返回的 ContT Monad 确实会无视 exit a 后面的处理流程，无条件地将 a 传递给外围函数。

ContT Monad转换器的其他函数

evalContT :: (Monad m) => ContT r m r -> m r
evalContT m = runContT m return

mapContT :: (m r -> m r) -> ContT r m a -> ContT r m a
mapContT f m = ContT $ f . runContT m

withContT :: ((b -> m r) -> (a -> m r)) -> ContT r m a -> ContT r m b
withContT f m = ContT $ runContT m . f

resetT :: (Monad m) => ContT r m r -> ContT r' m r
resetT = lift . evalContT

shiftT :: (Monad m) => ((a -> m r) -> ContT r m r) -> ContT r m a
shiftT f = ContT (evalContT . f)

liftLocal :: (Monad m) => m r' -> ((r' -> r') -> m r -> m r) ->
    (r' -> r') -> ContT r m a -> ContT r m a
liftLocal ask local f m = ContT $ c -> do
    r <- ask
    local f (runContT m (local (const r) . c))

Cont Monad

cont :: ((a -> r) -> r) -> Cont r a
cont f = ContT (c -> Identity (f (runIdentity . c)))

runCont :: Cont r a  -> (a -> r)  -> r
runCont m k = runIdentity (runContT m (Identity . k))

evalCont :: Cont r r -> r
evalCont m = runIdentity (evalContT m)

mapCont :: (r -> r) -> Cont r a -> Cont r a
mapCont f = mapContT (Identity . f . runIdentity)

withCont :: ((b -> r) -> (a -> r)) -> Cont r a -> Cont r b
withCont f = withContT ((Identity .) . f . (runIdentity .))

reset :: Cont r r -> Cont r' r
reset = resetT

shift :: ((a -> r) -> Cont r r) -> Cont r a
shift f = shiftT (f . (runIdentity .))

Cont Monad 是 ContT Monad（转换器） 的一个特例。

应用实例

import Control.Monad.Trans.Cont
import Control.Monad (when)

add :: Int -> Int -> Int
add x y = x + y

square :: Int -> Int
square x = x * x

add_cont :: Int -> Int -> Cont r Int
add_cont x y = return (add x y)

square_cont :: Int -> Cont r Int
square_cont x = return (square x)

pythagoras_cont :: Int -> Int -> Cont r Int
pythagoras_cont x y = do
    x_squared <- square_cont x
    y_squared <- square_cont y
    add_cont x_squared y_squared

pythagoras_cont' :: Int -> Int -> Cont r Int
pythagoras_cont' x y = callCC $ exit -> do
    when (x < 0 || y < 0) $ exit (-1)
    x_squared <- square_cont x
    y_squared <- square_cont y
    add_cont x_squared y_squared

main = do
    runCont (pythagoras_cont 3 4) print -- 25
    runCont (pythagoras_cont' 3 4) print -- 25
    runCont (pythagoras_cont' (-3) 4) print -- -1

How and why does the Haskell Cont monad work?