Tom and matrix

目录

• 题目
• 解法
• 代码

题目

求 (sum_{i=x_1}^{x_2}sum_{j=y_1}^{y_2} ext C[i][j]mod p)。

要求在 (mathcal O(y)) 的复杂度求解。

解法

组合数有一个式子：(C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j])。

我们可以这样理解一下这个式子：如果我们先枚举 (j) 再枚举 (i)，那么其实 ( ext C[i][j]) 存储了 ( ext C[i-1][j-1]) 的前缀和！

而我们这道题迫切需要的就是前缀和的优化。

可以得出：

[sum_{i=x_1}^{x_2}C[i][j]=C[x_2+1][j+1]-C[x_1][j+1](y_1le jle y_2) ]

解释一下：(C[x_1][j+1]) 就是 (sum_{i=1}^{x_1-1}C[i][j])。前者同理。

因为模数在线，所以用卢卡斯定理求解。

代码

#include <cstdio>
typedef long long ll;

ll p, fac[100005];

int read() {
	int x = 0, f = 1; char s;
	while((s = getchar()) > '9' || s < '0') if(s == '-') f = -1;
	while(s <= '9' && s >= '0') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + (s ^ 48);
		s = getchar();
	}
	return x * f;
}

ll qkpow(ll x, ll y) {
	ll r = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) r = r * x % p;
		x = x * x % p; y >>= 1;
	}
	return r;
}

ll C(const int n, const int m) {
	if(n < m) return 0;
	return fac[n] * qkpow(fac[m] * fac[n - m] % p, p - 2) % p;
}

ll Lucas(const int n, const int m) {
	if(n < m) return 0;
	if(! m) return 1;
	return Lucas(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p;
}

void init() {
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 100000; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}

int main() {
	int x1, x2, y1, y2; ll ans;
	while(~ scanf("%d %d %d %d %lld", &x1, &y1, &x2, &y2, &p)) {
		ans = 0; init();
		for(int i = y1; i <= y2; ++ i) ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1) - Lucas(x1, i + 1) + p) % p;
		printf("%lld
", ans);
	}
	return 0;
}