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  • 广义牛顿二项式定理

    普通的牛顿二项式定理在高中学习过的,当乘方为正整数的时候,但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况(比如生成函数),需要用到分数或者负数等等,于是广义牛顿二项式定理就出来了。

    首先我们引入牛顿二项式系数${r choose n}$。

    牛顿二项式系数定义:

    设r为实数,n为整数,引入形式符号

    $${r choose n}=
    egin{cases}
    0, & n<0\
    1, & n=0\
    frac{r(r-1)cdots (r-n+1)}{n!}, & n>0
    end{cases}$$

    广义牛顿二项式定理:

                    $(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$

    其中x,y,α为实数,且$midfrac{x}{y}mid<1$
    证明:

    证明需要用到数学分析的知识,没学过的话,应该看不懂2333。

    令$z=frac{x}{y}$则有:

    $(x+y)^{alpha}=y^{alpha}(1+z)^{alpha},mid zmid <1$

    设$f(z)=(1+z)^{alpha}$,于是有:

    $f^{(n)}(z)=alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)(1+z)^{alpha -n}$

    因此,当z0=0时,这个函数的泰勒公式(此时应该称为麦克劳林展开式)有如下形式:

    $(1+z)^{alpha} =1+frac{alpha}{1!}z+frac{alpha (alpha -1)}{2!}z^{2}+cdots +frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$

    也就是:

    $(1+z)^{alpha}=1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+r_n(0;z)$

    将余项使用柯西公式得:

    $r_n(0;z)=frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{alpha -n}(z-ξ)^{n}z$

    其中ξ介于0到z之间.

    将余项变形一下可得:

    $r_n(0;z)=alpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})(1+ξ)^{alpha}(frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$

    因为当$mid zmid <1$的时候,从ξ在0和z之间这个条件可以推出:

    $mid frac{z-ξ}{1+ξ}mid =frac{mid zmid -mid ξmid}{mid 1+ξmid}leq frac{mid zmid -mid ξmid}{1-mid ξmid}=1-frac{1-mid zmid}{1-mid ξmid}leq 1-(1-mid zmid)=mid zmid$

    于是$mid r_n(0;z)mid leqmid alpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})mid (1+ξ)^{alpha}mid zmid ^{n+1}$

    因为$mid r_{n+1}(0;z)midleqmid r_n(0;z)mid imes mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid$又因为$mid zmid <1$,所以,如果$mid zmid <q<1$,则不管$alpha$值如何,对于足够大的n将有$mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid <q<1$,这就是说当$n ightarrowinfty$时,有$r_n(0;z) ightarrow 0$,由此说明当$mid zmid <1$的时候,无穷级数$1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+cdots (*)$收敛于$(1+z)^{alpha}$。

    这时对于式子$y^{alpha}(1+z)^{alpha},mid zmid <1$将左边展开成无穷级数再将$y^alpha$乘上就得到了我们的$(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$

    当$mid zmid >1$时,由达朗贝尔比值检验法可以得出,只要$alpha otinmathbb{N}$,级数(*)总是发散的。

    特别地,当$alphainmathbb{N}$时,对函数$f(z)$来说,任意高于n阶的导数均为0,余项为0,直接展开就完事了,展开得到的就是高中学过的二项式定理。

    参考资料卓里奇的《数学分析》与屈婉玲《离散数学》

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