消耗战
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Description
在一场战争中,战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成,保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在,我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿,而且他们已经没有足够多的能源维系战斗,我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源,为了防止敌军获取能源,我军的任务是炸毁一些桥梁,使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同,所以炸毁不同的桥梁有不同的代价,我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现,敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后,他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁,而且会重新随机资源分布(但可以保证的是,资源不会分布到1号岛屿上)。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次,所以我们只需要把每次任务完成即可。
Input
第一行一个整数n,代表岛屿数量。
接下来n-1行,每行三个整数u,v,w,代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连,保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。
第n+1行,一个整数m,代表敌方机器能使用的次数。
接下来m行,每行一个整数ki,代表第i次后,有ki个岛屿资源丰富,接下来k个整数h1,h2,…hk,表示资源丰富岛屿的编号。
Output
输出有m行,分别代表每次任务的最小代价。
Sample Input
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
Sample Output
12
32
22
32
22
HINT
对于100%的数据,2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1
Main idea
给定一棵带权树,每次询问给出若干个关键节点,求出删去若干边使得关键节点无法到达根的最优方案。
Solution
显然想到了树形DP,但是直接做DP会TLE。
我们又发现了其实没有必要把全部边都走完,那么只要构建一棵虚树,在虚树上跑DP即可。
虚树构建方法:
1. 将关键点按照DFS序排序;
2. 求出排序后相邻两点的LCA(可以证明就是任意两点的LCA),和关键点一起按照DFS序排序,去重后得到虚树点集;
3. 用栈扫描一遍,维护从根到当前点的链(方法:如果栈顶是i的祖先,那么连边,加入i,否则弹栈)。
Code
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<iostream> 2 #include<string> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 10 const int ONE=500001; 11 const int INF=2147483640; 12 13 int n,m,T; 14 int x,y,z; 15 int next1[ONE],first1[ONE],go1[ONE],w1[ONE],tot1; 16 int next[ONE],first[ONE],go[ONE],w[ONE],tot; 17 int size[250001],Rank[250001]; 18 int dfn[250001],cnt,num; 19 int f[ONE][25],Dep[250001]; 20 int Output[ONE]; 21 int N; 22 long long dp[250001]; 23 int Minedge[ONE]; 24 int vis[250001]; 25 int q[250001],top; 26 27 struct power 28 { 29 int v; 30 int rank; 31 }a[ONE]; 32 33 int cmp(const power &a,const power &b) 34 { 35 return a.rank<b.rank; 36 } 37 38 int rule(const power &a,const power &b) 39 { 40 return (a.v==b.v && a.rank==b.rank); 41 } 42 43 int get() 44 { 45 int res,Q=1; char c; 46 while( (c=getchar())<48 || c>57) 47 if(c=='-')Q=-1; 48 if(Q) res=c-48; 49 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 50 res=res*10+c-48; 51 return res*Q; 52 } 53 54 int Add(int u,int v,int z) 55 { 56 next1[++tot1]=first1[u]; first1[u]=tot1; go1[tot1]=v; w1[tot1]=z; 57 next1[++tot1]=first1[v]; first1[v]=tot1; go1[tot1]=u; w1[tot1]=z; 58 } 59 60 int New_Add(int u,int v,int z) 61 { 62 next[++tot]=first[u]; first[u]=tot; go[tot]=v; w[tot]=z; 63 next[++tot]=first[v]; first[v]=tot; go[tot]=u; w[tot]=z; 64 } 65 66 int Dfs(int u,int father) 67 { 68 dfn[++cnt]=u; 69 size[u]=1; 70 Dep[u]=Dep[father]+1; 71 for(int i=0;i<=19;i++) 72 { 73 f[u][i+1]=f[f[u][i]][i]; 74 } 75 76 for(int e=first1[u];e;e=next1[e]) 77 { 78 int v=go1[e]; 79 if(v==father) continue; 80 f[v][0]=u; 81 Minedge[v]=min(w1[e],Minedge[u]); 82 Dfs(v,u); 83 size[u]+=size[v]; 84 } 85 } 86 87 int LCA(int x,int y) 88 { 89 if(Dep[x]<Dep[y]) swap(x,y); 90 for(int i=20;i>=0;i--) 91 { 92 if(Dep[f[x][i]]>=Dep[y]) x=f[x][i]; 93 if(x==y) return x; 94 } 95 96 for(int i=20;i>=0;i--) 97 { 98 if(f[x][i]!=f[y][i]) 99 { 100 x=f[x][i]; 101 y=f[y][i]; 102 } 103 } 104 105 return f[x][0]; 106 } 107 108 int Check(int u,int v) 109 { 110 if(Rank[u]<=Rank[v] && Rank[v]<=Rank[u]+size[u]-1) return 1; 111 return 0; 112 } 113 114 void Deal() 115 { 116 tot=0; 117 for(int i=2;i<=num;i++) 118 { 119 int x=a[i].v; 120 while(!Check(q[top],x)) top--; 121 New_Add(q[top],x,Minedge[x]); 122 q[++top]=x; 123 } 124 } 125 126 void Tree_dp(int u,int father) 127 { 128 dp[u]=0; 129 for(int e=first[u];e;e=next[e]) 130 { 131 int v=go[e]; 132 if(v==father) continue; 133 Tree_dp(v,u); 134 if(vis[v]) dp[u]+=w[e]; 135 else dp[u]+=min(dp[v],(long long)w[e]); 136 } 137 first[u]=0; 138 } 139 140 int main() 141 { 142 n=get(); 143 for(int i=1;i<n;i++) 144 { 145 x=get(); y=get(); z=get(); 146 Add(x,y,z); 147 } 148 149 memset(Minedge,63,sizeof(Minedge)); 150 Dfs(1,0); 151 Minedge[1]=0; 152 for(int i=1;i<=cnt;i++) Rank[dfn[i]]=i; 153 154 T=get(); 155 156 while(T--) 157 { 158 m=get(); 159 num=0; 160 N=m; 161 for(int i=1;i<=m;i++) 162 { 163 a[++num].v=get(); 164 a[num].rank=Rank[a[num].v]; 165 vis[a[num].v]=1; 166 } 167 168 sort(a+1,a+num+1,cmp); 169 for(int i=2;i<=m;i++) 170 { 171 a[++num].v=LCA(a[i].v,a[i-1].v); 172 a[num].rank=Rank[a[num].v]; 173 } 174 175 a[++num].v=1; vis[1]=1; 176 a[num].rank=1; 177 178 sort(a+1,a+num+1,cmp); 179 num=unique(a+1,a+num+1,rule)-1-a; 180 181 top=0; q[++top]=1; 182 Deal(); 183 Tree_dp(1,0); 184 185 printf("%lld ",dp[1]); 186 for(int i=1;i<=num;i++) a[i].rank=a[i].v=vis[a[i].v]=0; 187 } 188 189 }