【CF850E】Random Elections FWT

【CF850E】Random Elections

题意：有n位选民和3位预选者A,B,C，每个选民的投票方案可能是ABC,ACB,BAC...，即一个A,B,C的排列。现在进行三次比较，A-B,B-C,C-A。每次比较的结果由一个给定的函数决定$f(x)：{0,1}^n ightarrow {0,1}$，即读入一个长度为n的bool数组，返回一个bool变量。假如是A和B比较，则读入数组的第i个bool是 第i个人的排列中，A是否在B的前面；返回的bool是 A获胜还是B获胜。现在给你函数f（一张包含2^n个bool的表），所有选民的方案都是随机的，问你有多少种方案使得 存在一个预选者获得2场胜利。

如果嫌我说的太不清楚还是看原题吧~

题解：假设A赢了两场，那么我们设两次比较时的bool数组为$A-B:P_1$和$A-C:P_2$，考虑第i个人：

如果在$P_1$中这个人是0，在$P_2$中这个人是0，那么这个人可能的投票方案为CBA,BCA
同理得到：
(0,0)->CBA,BCA
(0,1)->BAC
(1,0)->CAB
(1,1)->ABC,ACB
所以说，如果$P_1 mathrm{xor} P_2$中有cnt个1，那么投票方案就是$2^{n-cnt}$。

也就是说我们把f数组和自身做一下异或卷积，然后把每一个数的值$ imes 2^{n-cnt}$加到一起即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
const int maxn=(1<<20)+4;
int n,l;
ll ans;
int cnt[maxn];
ll a[maxn];
char str[maxn];
inline void fwt()
{
	int h,i,j;
	ll x,y;
	for(h=2;h<=l;h<<=1)	for(i=0;i<l;i+=h)	for(j=i;j<i+h/2;j++)	x=a[j],y=a[j+h/2],a[j]=x+y,a[j+h/2]=x-y;
}
inline void ufwt()
{
	int h,i,j;
	ll x,y;
	for(h=2;h<=l;h<<=1)	for(i=0;i<l;i+=h)	for(j=i;j<i+h/2;j++)	x=a[j],y=a[j+h/2],a[j]=(x+y)/2,a[j+h/2]=(x-y)/2;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n),l=1<<n;
	int i;
	scanf("%s",str);
	for(i=0;i<l;i++)	a[i]=str[i]-'0';
	fwt();
	for(i=0;i<l;i++)	a[i]=a[i]*a[i];
	ufwt();
	ans=a[0]*l%P;
	for(i=1;i<l;i++)	cnt[i]=cnt[i-(i&-i)]+1,ans=(ans+a[i]*(1<<(n-cnt[i])))%P;
	printf("%lld",ans*3%P);
	return 0;
}