LightOJ1138 —— 阶乘末尾0、质因子分解

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1138

1138 - Trailing Zeroes (III)

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You task is to find minimal natural number N, so that N! contains exactly Q zeroes on the trail in decimal notation. As you know N! = 1*2*...*N. For example, 5! = 120, 120 contains one zero on the trail.

Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case contains an integer Q (1 ≤ Q ≤ 10⁸) in a line.

Output

For each case, print the case number and N. If no solution is found then print 'impossible'.

Sample Input	Output for Sample Input
3 1 2 5	Case 1: 5 Case 2: 10 Case 3: impossible

题意：

求是否存在一个数n，使得 n! 的十进制表示末尾有Q个0，如存在，输出最小值。

题解：

1. 对 n! 进行质因子分解：n! = 2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * …… 。

2.可知质因子2出现的次数大于质因子5出现的次数，且质因子中只有2*5 = 10。综上，有多少个质因子5，末尾就有多少个0。

3.那怎么知道 n! 里面有多少个质因子5呢？ 

答： 从1到n，有多少个数是5的倍数呢？ n/5 个。 当这n/5数格子除以5之后，又还剩几个数是5的倍数呢？ 那就是 （n/5）/5 个，然后一直下去。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 1e6+10;

LL Count(LL tmp)
{
    LL sum = 0;     //不能定义int
    while(tmp) sum += tmp/5, tmp /= 5;
    return sum;
}

int main()
{
    int T, kase = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        LL Q;
        scanf("%lld", &Q);
        LL l = 0, r = LNF;
        while(l<=r)
        {
            LL mid = (l+r)/2;
            if(Count(mid)>=Q)
                r = mid - 1;
            else
                l = mid + 1;
        }

        printf("Case %d: ", ++kase);
        if(Count(l)!=Q)
            printf("impossible
");
        else
            printf("%lld
", l);
    }
}