浅谈定积分

定积分定义及运算

(Definition:)
设 (f(x)) 为在区间 ([a,b]) 上的连续函数.在区间 ([a,b]) 上任取 (m+1) 个点 (x_0,x_1,x_2,...,x_m)使得

[a = x_0 < x_1 < x_2 < x_ 3 < ... < x_{k-1} < x_{k} < ... < x_{m-1} < x_m = b ]

设上述点集为 (A) ,则 (A) 将区间 ([a,b]) 任意分割分割为 (m) 个子区间 ([x_{k-1} , x_k](k in [1,m])).显然,上述点集把整个区间划分成了 (m) 段.所以我们把上述点集记为分割(Delta).
当 (Delta) 一定时,对于任意的 (k) ,任取一点 (xi) 使得 $ x_{k-1} le xi le x_k $.
并设 (S_k=sum_{i=1}^{m}{f(xi) cdot ( x_i - x_{i-1})})
易知: (S_k) 的几何意义为以分割 (Delta) 确定的各个微分区间与其两端点与 (x) 的垂线及对应函数图像围成的图形面积.(可能表述不太清楚,其实就是图像围成的曲边梯形的面积)
定义一:
若(f(x))在([a,b])上的极限存在,则可对 (S_k) 取极限,即为:

[S_k=lim_{m o+infty}{sum_{i=1}^{m}}{f(xi) cdot (x_i - x_{i-1} ) } ]

此时,称 (S_k) 为 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上的定积分.记为:

[int_a^b f(x) dx = lim_{m o+infty}{sum_{i=1}^{m}}{f(xi) cdot (x_i - x_{i-1} ) } ]

其中, (f(x)) 叫做该定积分的被积函数,该定积分(int_a^b f(x) dx) 就叫做函数 (f(x)) 关于 (x) 从 (a) 到 (b) 的积分. (a,b) 分别叫做该定积分的积分下限和积分上限. (x) 成为该定积分的积分变量.

Eg.1

设 (f(x)=x^2),求 (int_0^1 f(x) dx).
解:在区间 ([0,1]) 上任取 (n) 个点记为: (x_0 , x_1 , ... , x_{n-1} , x_n)
使得 $ 0=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = 1$ 且对于 $forall i , x_i - x_{i-1} $为定值. ((1.1))
把上述分割记为 (Delta) 则对于其中的任意区间 ([x_{k-1},x_k]),取一点 (xi) 来近似地代替该区间上的函数值.(当(n o+infty)时,区间可认为是一个点.)
不妨设(xi=x_i),所以有:

[int_0^1 f(x) dx = lim_{n o+infty} {sum_{i=1}^n {f(x_i)cdot (x_i - x_{i-1})} } : : (1) ]

因为条件 ((1.1)) 所以 (x_i - x_{i-1} = cfrac{b-a}{n} = cfrac{1}{n})
所以 ((1)) 改写为:

[int_0^1 f(x) dx = lim_{n o+infty} {sum_{i=1}^n {f(x_i)cdot cfrac{1}{n} } } : : (2) ]

对于 (Delta) 中的第(i)个区间,可表示为 ([cfrac{i-1}{n},cfrac{i}{n}])
由于函数在微分区间个数上取极限时,每个区间可认为是一点,所以不妨令 (xi=x_i=cfrac{i}{n})
(而可以证明,这里取区间内任一点都不影响积分结果)
所以 ((2)) 改写为:

[int_0^1 f(x) dx = lim_{n o+infty} {sum_{i=1}^n {(cfrac{i}{n})^2cdot cfrac{1}{n} } } : : (3) ]

上式右边整理后可得

[lim_{n o+infty}{cfrac{1}{n^3} cdot cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}} ]

整理可得:

[lim_{n o+infty}{cfrac{1}{3} cdot cfrac{(n+1)(2n+1)}{2n cdot n }} ]

即为:

[lim_{n o+infty}{cfrac{1}{3} cdot ( 1 + cfrac{1}{2n}) ( 1 + cfrac{1}{n} )} ]

取极限,得

[int_0^1 f(x) dx = cfrac{1}{3} ]

即函数 (f(x)) 在 ([0,1]) 上的定积分为 (cfrac{1}{3})
其几何意义为 (f(x) = x^2) 与 (x=0,x=1,y=0) 三条直线围成的曲边"梯形"面积.

可以看出,根据定积分的定义直接去推导求解定积分是十分繁琐的.按照《高中数学选修2-2》中的内容,可以得到如下定义.

定义二:

在区间 ([a,b]) 上 (f(x)>0) 恒成立时,(int_a^bf(x)dx) 为点集

[P= {(x,y)|xin [a,b],yin [0,f(x)]} ]

的面积.现阶段,称 (int_a^bf(x)dx) 为点集 (P) 的面积.

(Announce:)以下关于 (Riemann) 积分的内容来自于小平邦彦前辈的《解析入门》.
定义二不仅仅适用于 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续的情况.假设 (f(x)) 为 ([a,b]) 上的有界函数,对于 ([a,b]) 的分割 (Delta = {x_0,x_1,x_2,...,x_{m-1},x_m},a=x_1<x_1<x_2<...<x_{m-1}<x_m=b),(f(x)) 在每个子区间 ([x_{k-1},x_k]) 上的上确界分别设为 (M_k) 和 (mu_k) 并设

[S_{Delta}=sum_{i=1}^m{M_k cdot (x_k - x_{k-1})} ]

[s_{Delta}=sum_{i=1}^m{mu_k cdot (x_k - x_{k-1})} ]

则对于区间 ([a,b]) 任意的两个分割 (Delta) 和 (Delta'),有 (s_Delta le S_{Delta'})
因此对于 ([a,b]) 的所有分割 (Delta) , 如果 (S_Delta) 的下确界设为

[S=inf_Delta S_Delta ]

(s_Delta) 的上确界设为

[s = sup_Delta s_Delta ]

那么

[sle S ]

这里,当等式 (s=S) 成立时,称函数 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 是 (Riemann) 可积的.关于分割 (Delta) ,如果 (x_{k-1} le xi_k le x_k) 则 $ mu_k le f(xi_k) le M_k$,

因此

[s_Delta le sum_{k=1}^m f(xi_k) cdot ( x_k - x_{k_1} ) le S_Delta ]

所以, (s=S),即如果函数 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上 (Riemann) 可积,那么

[lim_{delta[Delta] o0} sum_{k=1}^m f(xi_k) cdot ( x_k - x_{k-1}) = s = S ]

上式左边的极限叫做 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上的定积分,用 (inf_a^bf(x)dx) 来表示,即:

[inf_a^b f(x) dx = lim_{delta[Delta] o0} sum_{k=1}^m f(xi_k) cdot ( x_k - x_{k-1}) ]

这就是 (Riemann) 积分法.

在区间 ([a,b]) 上的连续函数一定 (Riemann) 可积.但像在区间 ([a,b]) 上有界或除有限个点外是连续函数,虽然不是连续函数,但在区间 ([a,b]) 上也是 (Riemann) 可积的.另外,在区间 ([a,b]) 上有界的单调函数即使有无限个不连续点也在区间 ([a,b]) 上 (Riemann) 可积.但并非所有函数都是 (Riemann) 可积的.例如,函数 (f(x),xin [a,b]) , 当 (x) 为有理数时,(f(x) = 1);当 (x) 为无理数时, (f(x)=0) 这样的函数 (f(x)) 不可积. 事实上,对于函数 (f(x),M_k=1,mu_k=0),所以对任意的分割 (Delta,S_Delta = b - a ,s_Delta = 0) , 因此函数 (f(x)) 不可积.(实数的稠密性)

向小平邦彦前辈致以崇高的敬意!

但我个人最喜欢的求解定积分的方法是——微积分基本定理,又称牛顿--莱布尼茨公式.其描述为:
设函数 (F(x)),令(F'(x) = f(x)) (即 (F(x)) 为 (f(x)) 的原函数)
则有:

[int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) :: (5) ]

上式右边常记为 (F(x) |_a^b),于是 ((5)) 写作:

[int_a^b f(x) dx = F(x) |_a^b ]

这里本应提供一张原函数表以便使用,但限于篇幅(精力),不再整理,毕竟网上大神多了去了对吧.
强烈推荐记住某些常用函数的原函数以便直接使用.

Eg.2

用公式 ((5)) 解决 (Eg.1)
解:设 (F(x)) 为 (f(x)) 的原函数,则查表可知:

[F(x)=cfrac{x^3}{3} ]

直接运用公式 ((5)) 得

[int_0^1 f(x) dx = F(x) |_b^a ]

即

[int_0^1 f(x) dx = F(1) -F(0) ]

可以看出,只要掌握了原函数的解法,对于定积分的求解就变得十分简洁、方便,值得一提的是,由于 (F(x)) 本质上是 (f(x)) 的导函数,所以复杂函数的原函数可以使用导数算法则进行计算.
除此之外,高中数学你背的那些基本初等函数的导函数那张表也可以用到.

定积分基本性质

[int_a^b k cdot f(x) dx = kcdot int_a^b f(x) dx : ( k 为常数) (1.3) ]

利用公式 ((5)) 十分易证.
$$int_{a}^{b}[f(x) pm g(x)] d x=int_{a}^{b} f(x) d x pm int_{a}^{b} g(x) dx (1.4)$$
同样地,利用公式 ((5)) 不难证明.

[int_a^b f(x) dx = int_a^c f(x) dx + int_c^b f(x) dx ( a < c < b ) (1.5) ]

这一条可以利用几何性质去理解,(当然利用公式 ((5)) 也十分简单)
由定义二可得 (int_a^b f(x) dx) 为 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上的点集 (P) 的面积记为 (S_{a,b}) , 同理可得 (int_a^c f(x)dx)和 (int_c^b f(x)dx) 分别为 (f(x)) 在 ([a,c],[c,b]) 上的点集 (P_1,P_2) 的面积,记为 (S_{a,c},S_{c,b}) 显然 $ S_{a,b} = S{a,c} + S_{c,b}$ , 所以,可得 ((1.5)) 的成立.
对于 ((1.5)) ,我们限制了 (a<c<b) ,接下来我们对这个条件的必要性,加以讨论.
根据 ((1.5)) , 若 (a<c<b) , 显然有 (int_a^b f(x) dx = int_a^c f(x) dx + int_c^b f(x) dx) 成立.
若 (b<a) , 则定义

[int_a^b f(x) dx = - int_b^a f(x) dx ]

若 (a=b),则定义 (int_a^a f(x) dx = 0)
在上述定义下, ((1.5)) 的成立与 (a,b,c) 的大小无关.
证明:方便起见, (int_a^b f(x) dx) 中的 (f(x) dx) 省略不写.
当 (a=cle b) 或 $ a le c le b$ 时,((1.5))显然成立.
((1)) 当 (c le a le b) 时,(int_c^b = int_c^a + int_a^b)
则有 (int_a^b = - int_c^a + int_c^b = int_a^c + int_c^b)
((2)) 当 $ c le b le a$ 时, (int_c^a = int_c^b + int_b^a)
则有 $ - int_b^a = int_c^b - int_c^a $
即 (int_a^b = int_a^c + int_c^b)
同理,在其它任意情况下,((1.5)) 同样成立.

不定积分(这是多余的,只有定义)

定义四:
在公式 ((5)) 中,我们用到了原函数.事实上,
定义在区间 (I) 上的函数 (f(x)) 的原函数也可称为 (f(x)) 的不定积分.用符号 (int f(x) dx) 表示.
但在不同的资料文献中,对不定积分的定义并不统一,这里采用了小平邦彦前辈在《解析入门》中的定义.
在这里需要注意的是,定积分与不定积分是完全不同的概念,二者之间仅有一个公式 ((5)) 的计算联系,而不能认为定积分就是不定积分在对应区间上的差值.再次不对不定积分进行进一步讨论.

本次探究学习到此就告一段落了,事实上,本文的所有内容都十分浅显,是积分学中最最基础的东西,尽管如此,也还不甚全面.限于本人还未学习过数列的极限、导函数等内容,所以目前的自学成果只有这些.