线性筛求欧拉函数的证明

在线性筛求欧拉函数中，我们用到了以下公式：

若$i$为质数，则$varphi(i)=i-1$；

若$p_jmid i$，则$varphi(i imes p_j)=varphi(i) imes p_j$；

若$p_i mid i$，则$varphi(i imes p_j)=varphi(i) imes varphi(j)=varphi(i) imes (p_j-1)$。

其中$p_j$表示一个质数。

后两个公式是由欧拉函数的计算公式导出的。下面给出欧拉函数的计算公式：

设$n$有$k$个质因数$p_1,p_2,p_3,dots ,p_k$，则

$$varphi(n)=nprodlimits_{i=1}^k (1-dfrac{1}{p_i})$$

我们来分析一下这个公式，它的前半部分是$n$，表示原数，后半部分是一个连乘，可以发现每一个重复的因式都是$dfrac{p_i-1}{p_i}$，表示$n$的每种质因数对$varphi(n)$的贡献。

现在来证明第二个公式：

若$pmid n$，则$varphi(n imes p)=varphi(n) imes p$

因为$pmid n$，且$p$是一个质数，所以$p$是$n$的一个质因数，自然也是$n imes p$的一个质因数，所以从$n$到$n imes p$，质因数种类没有发生变化，欧拉函数计算公式里的连乘部分也就没有发生变化，只需要在最前面多乘上一个$p$表示原数的变化。

接下来证明第三个公式：

若$p mid n$，则$varphi(n imes p)=varphi(n) imes (p-1)$

发现从$n$到$n imes p$，新增了一个质因数种类$p$，所以除了公式的前半部分要乘上$p$，还要在后半部分乘上$(1-dfrac{1}{p})$，也即从$n$到$n imes p$，欧拉函数增长了$p(1-dfrac{1}{p})=p-1$倍。

代码：

    int k,lis[M+3];
    bool prm[M+3];
    int phi[M+3];
    
IL void getphi(){
    phi[1]=1;
    for(RI i=2;i<=m;i++){
        if(!prm[i]){
            lis[++k]=i;
            phi[i]=i-1;
            
        }
        
        for(RI j=1;j<=k&&i*lis[j]<=m;j++){
            prm[i*lis[j]]=true;
            
            if(i%lis[j]==0)
                phi[i*lis[j]]=phi[i]*lis[j];
            else 
                phi[i*lis[j]]=phi[i]*(lis[j]-1);
            
        }
        
    }
    
}

其中$M$表示最大值域，$m$表示实际值域。