Matplotlib学习---用mplot3d画莫比乌斯环（Mobius strip）

mplot3d是matplotlib里用于绘制3D图形的一个模块。关于mplot3d 绘图模块的介绍请见：https://blog.csdn.net/dahunihao/article/details/77833877。

莫比乌斯环（mobius strip）是一种只有一个曲面的拓扑结构。把一个纸条扭转180°后，两头再粘接起来，这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。

莫比乌斯环是一个二维的紧致流形 (即一个有边界的面)，可以嵌入到三维或更高维的流形中 。那么如何在3D空间上画莫比乌斯环呢？可以利用现有的方程式，将莫比乌斯环的两个参数（角度，宽度）映射到三维空间中。以下摘自维基百科（https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip）：

"""

One way to represent the Möbius strip as a subset of three-dimensional Euclidean space is using the parametrization:

where 0 ≤ u < 2π and −1 ≤ v ≤ 1. This creates a Möbius strip of width 1 whose center circle has radius 1, lies in the xyplane and is centered at (0, 0, 0). The parameter u runs around the strip while v moves from one edge to the other.

"""

大概的意思就是：这个方程组可以创造一个宽度为1，中心圆半径为1的莫比乌斯环，其所处位置为x-y平面，中心为（0，0，0）。参数u绕整个环转圈，参数v则从一个边缘移动到另一个边缘。

下面让我们一步一步来画莫比乌斯环。首先导入numpy，matplotlib和其3D模块，创建一个图形和一个三维坐标轴：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

其次，定义u，v参数（u为绕环一圈的角度，v为环的宽度）：

u = np.linspace(0, 2*np.pi, endpoint=True, num=50)
v = np.linspace(-1, 1, endpoint=True, num=10)

然后，按照方程式，将u，v参数映射到三维空间（x轴，y轴和z轴）：

u,v=np.meshgrid(u,v)
u=u.flatten()
v=v.flatten()
x = (1 + 0.5 * v * np.cos(u / 2.0)) * np.cos(u)
y = (1 + 0.5 * v * np.cos(u / 2.0)) * np.sin(u)
z = 0.5 * v * np.sin(u / 2.0)

最后，选一个好看的配色方案，画出图像：

ax.plot_trisurf(x,y,z,cmap="cool")

此时图像如下：

可以看出图像已基本成型，但是部分地方还有缺角。这是因为三角剖分还不正确。可以使用matplotlib现成的方法定义三角剖分：

import matplotlib.tri as mtri
tri = mtri.Triangulation(u, v)

最后的最后，把图像变大一点，把x轴，y轴和z轴的上下限修改一下，这样图像看起来更好一些。

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize=(10,6))
ax = plt.axes(projection='3d')

# u, v are parameterisation variables
u = np.linspace(0, 2*np.pi, endpoint=True, num=50)
v = np.linspace(-1, 1, endpoint=True, num=10)

# This is the Mobius mapping, taking a u, v pair and returning an x, y, z
# triple
u,v=np.meshgrid(u,v) #用meshgrid函数来产生三维绘图时的矩阵
u=u.flatten() #把u展开，变成一维数组
v=v.flatten() #把v展开，变成一维数组
x = (1 + 0.5 * v * np.cos(u / 2.0)) * np.cos(u)
y = (1 + 0.5 * v * np.cos(u / 2.0)) * np.sin(u)
z = 0.5 * v * np.sin(u / 2.0)

# Triangulate parameter space to determine the triangles
import matplotlib.tri as mtri
tri = mtri.Triangulation(u, v)

# Plot the surface.  The triangles in parameter space determine which x, y, z
# points are connected by an edge.
ax.plot_trisurf(x,y,z,cmap="cool",triangles=tri.triangles)
ax.set_xlim(-1.1, 1.1)
ax.set_ylim(-1.1, 1.1)
ax.set_zlim(-1, 1)

plt.show()

图像如下：

 

参考：https://matplotlib.org/gallery/mplot3d/trisurf3d_2.html?highlight=mobius