Description
作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。
Output
包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)
Sample Input
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
Sample Output
2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
这题数据范围不太正常啊,调了两倍的数组,加上全longlong才AC
莫队算法
莫涛前辈提出的一种对不修改区间的查询类算法,看起来好像是暴力+分块法,虽然是暴力法,但用快速排序可以降低时间复杂度好几个等级
这里有两篇详细的讲解
对于L,R的查询,设其中颜色为x,y,z... 袜子的个数为a,b,c...
显然
R-L+1=a+b+c+....
即答案为:
C(a,2)+C(b,2)+C(c,2)+.../C(R-L+1,2)
展开化简,两边同时乘以2
a*(a-1)+b*(b-1)+c*(c-1)+... / (R-L+1)(R-L)
再次展开
a2+b2+c2+....(a+b+c+...) / (R-L+1)(R-L)
显然
a2+b2+c2+....(R-L+1) / (R-L+1)(R-L)
update()函数用于更新在pl,pr区间时num[i]的个数,以及ans相同颜色的袜子数
相比原代码做了个小优化
ans-=num[col[x]]*num[col[x]];
num[col[x]]+=d;
ans+=num[col[x]]*num[col[x]];
num[col[x]]+=d;
ans+=num[col[x]]*num[col[x]];
原代码先删除旧的num[i]2在加上新的num[i]2
我化简成ans=2*num[i]*d+d2之后num[i]+=d;
我化简成ans=2*num[i]*d+d2之后num[i]+=d;
简单的完全平方化简,就不用我写了吧
1 #define LL long long 2 3 #include<iostream> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<cmath> 7 #include<algorithm> 8 using namespace std; 9 10 const LL MAXN=100000+10; 11 12 struct qnode//储存提问 13 { 14 LL l,r,id; 15 }qu[MAXN]; 16 17 LL n,m,block;//block储存分块的个数 18 LL c[MAXN],pos[MAXN]; 19 LL ans=0;//表示共有多少对相同颜色的袜子 20 LL num[MAXN],up[MAXN],dw[MAXN];//num[i]表示i号颜色的袜子的个数,up[i],dw[i]表示i号提问的答案 21 22 LL read() 23 { 24 LL x=0,f=1;char ch=getchar(); 25 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();} 26 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} 27 return x*f; 28 } 29 30 bool cmp(qnode a,qnode b) 31 { 32 if(pos[a.l]==pos[b.l]) 33 return a.r<b.r; 34 return pos[a.l]<pos[b.l]; 35 } 36 37 LL gcd(LL a,LL b) 38 { 39 return b?gcd(b,a%b):a; 40 } 41 42 void update(LL x,LL d) 43 { 44 ans+=2*num[c[x]]*d+d*d; 45 num[c[x]]+=d; 46 } 47 48 int main() 49 { 50 n=read();m=read(); 51 block=(LL)sqrt(n); 52 for(LL i=1;i<=n;i++) 53 { 54 c[i]=read(); 55 pos[i]=(i-1)/block+1; 56 } 57 for(LL i=1;i<=m;i++) 58 { 59 qu[i].l=read();qu[i].r=read(); 60 qu[i].id=i; 61 } 62 sort(qu+1,qu+m+1,cmp);//区间排序 63 64 LL pl=1,pr=0,id; 65 LL a,b,c; 66 for(LL i=1;i<=m;i++) 67 { 68 id=qu[i].id;//以下为对区间修改 69 if(qu[i].l==qu[i].r) 70 { 71 up[id]=0;dw[id]=1; 72 continue; 73 } 74 if(pr<qu[i].r) 75 for(LL j=pr+1;j<=qu[i].r;j++) 76 update(j,1); 77 else 78 for(LL j=pr;j>qu[i].r;j--) 79 update(j,-1); 80 pr=qu[i].r; 81 if(pl<qu[i].l) 82 for(LL j=pl;j<qu[i].l;j++) 83 update(j,-1); 84 else 85 for(LL j=pl-1;j>=qu[i].l;j--) 86 update(j,1); 87 pl=qu[i].l; 88 a=ans-qu[i].r+qu[i].l-1; 89 b=(qu[i].r-qu[i].l+1)*(qu[i].r-qu[i].l); 90 c=gcd(a,b); 91 a/=c;b/=c;//求最简整数比 92 up[id]=a;dw[id]=b; 93 } 94 for(LL i=1;i<=m;i++) 95 printf("%lld/%lld ",up[i],dw[i]); 96 return 0; 97 }