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  • [bzoj]2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

    Description

    作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
    具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
    你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

    Input

    输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

    Output

    包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

    Sample Input

    6 4
    1 2 3 3 3 2
    2 6
    1 3
    3 5
    1 6

    Sample Output

    2/5
    0/1
    1/1
    4/15
    【样例解释】
    询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
    询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
    询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
    注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
    【数据规模和约定】
    30%的数据中 N,M ≤ 5000;
    60%的数据中 N,M ≤ 25000;
    100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
     
    这题数据范围不太正常啊,调了两倍的数组,加上全longlong才AC
     
    莫队算法
    莫涛前辈提出的一种对不修改区间的查询类算法,看起来好像是暴力+分块法,虽然是暴力法,但用快速排序可以降低时间复杂度好几个等级
     
    这里有两篇详细的讲解
     
    对于L,R的查询,设其中颜色为x,y,z... 袜子的个数为a,b,c...
    显然
      R-L+1=a+b+c+....
    即答案为:
      C(a,2)+C(b,2)+C(c,2)+.../C(R-L+1,2)
    展开化简,两边同时乘以2
      a*(a-1)+b*(b-1)+c*(c-1)+... / (R-L+1)(R-L)
    再次展开
      a2+b2+c2+....(a+b+c+...) / (R-L+1)(R-L)
    显然
      a2+b2+c2+....(R-L+1) / (R-L+1)(R-L)
     
    update()函数用于更新在pl,pr区间时num[i]的个数,以及ans相同颜色的袜子数
    相比原代码做了个小优化
     
      ans-=num[col[x]]*num[col[x]];
      num[col[x]]+=d;
      ans+=num[col[x]]*num[col[x]];
     
    原代码先删除旧的num[i]2在加上新的num[i]2
    我化简成ans=2*num[i]*d+d2之后num[i]+=d;
    简单的完全平方化简,就不用我写了吧
     
     1 #define LL long long
     2 
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstdio>
     5 #include<cstring>
     6 #include<cmath>
     7 #include<algorithm>
     8 using namespace std;
     9 
    10 const LL MAXN=100000+10;
    11 
    12 struct qnode//储存提问
    13 {
    14     LL l,r,id;
    15 }qu[MAXN];
    16 
    17 LL n,m,block;//block储存分块的个数
    18 LL c[MAXN],pos[MAXN];
    19 LL ans=0;//表示共有多少对相同颜色的袜子
    20 LL num[MAXN],up[MAXN],dw[MAXN];//num[i]表示i号颜色的袜子的个数,up[i],dw[i]表示i号提问的答案
    21 
    22 LL read()
    23 {
    24     LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    25     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    26     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    27     return x*f;
    28 }
    29 
    30 bool cmp(qnode a,qnode b)
    31 {
    32     if(pos[a.l]==pos[b.l])
    33         return a.r<b.r;
    34     return pos[a.l]<pos[b.l];
    35 }
    36 
    37 LL gcd(LL a,LL b)
    38 {
    39     return b?gcd(b,a%b):a;
    40 }
    41 
    42 void update(LL x,LL d)
    43 {
    44     ans+=2*num[c[x]]*d+d*d;
    45     num[c[x]]+=d;
    46 }
    47 
    48 int main()
    49 {
    50     n=read();m=read();
    51     block=(LL)sqrt(n);
    52     for(LL i=1;i<=n;i++)
    53     {
    54         c[i]=read();
    55         pos[i]=(i-1)/block+1;
    56     }
    57     for(LL i=1;i<=m;i++)
    58     {
    59         qu[i].l=read();qu[i].r=read();
    60         qu[i].id=i;
    61     }
    62     sort(qu+1,qu+m+1,cmp);//区间排序
    63 
    64     LL pl=1,pr=0,id;
    65     LL a,b,c;
    66     for(LL i=1;i<=m;i++)
    67     {
    68         id=qu[i].id;//以下为对区间修改
    69         if(qu[i].l==qu[i].r)
    70         {
    71             up[id]=0;dw[id]=1;
    72             continue;
    73         }
    74         if(pr<qu[i].r)
    75             for(LL j=pr+1;j<=qu[i].r;j++)
    76                 update(j,1);
    77         else
    78             for(LL j=pr;j>qu[i].r;j--)
    79                 update(j,-1);
    80         pr=qu[i].r;
    81         if(pl<qu[i].l)
    82             for(LL j=pl;j<qu[i].l;j++)
    83                 update(j,-1);
    84         else
    85             for(LL j=pl-1;j>=qu[i].l;j--)
    86                 update(j,1);
    87         pl=qu[i].l;
    88         a=ans-qu[i].r+qu[i].l-1;
    89         b=(qu[i].r-qu[i].l+1)*(qu[i].r-qu[i].l);
    90         c=gcd(a,b);
    91         a/=c;b/=c;//求最简整数比
    92         up[id]=a;dw[id]=b;
    93     }
    94     for(LL i=1;i<=m;i++)
    95         printf("%lld/%lld
    ",up[i],dw[i]);
    96     return 0;
    97 }
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