堆排序练习(证明)
关于堆排序的具体介绍和C代码实现见该链接。
算导关于堆排序的练习主要是一些证明,可以帮助理解堆的特征。部分练习是图示过程,这些练习认真用笔过一次会很有收获。
1.在高度为h的堆中,最多和最少的元素个数是多少?
最多:底层全满;1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h,等比数列求和得2^(h+1) - 1
最少:底层只有一个节点;1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1,等比数列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h
2.证明:含n个元素的堆的高度为floor(lgn)
假设n个元素的堆的高度为h。由上题得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1,因此h <= lgn < h+1。
根据floor 和 ceiling 函数的性质
见维基
得h = floor(lgn)
3.证明:在一个最大堆的某棵子树中,最大元素在该子树的根上。(看了答案才知道用反证法,居然想不到反证法,离散数学白看了。。。。。)
假设这个命题为错误的,存在一棵子树的最大元素不在该子树的根,最大元素的下标为m。
则下标为m的节点的值比其父节点的值大,但是最大堆的特性为某个节点的值最多和其父节点的值一样大,矛盾,因此假设为错误,命题正确。
4.证明:当用数组表示存储了m个元素的堆时,叶节点的下标是floor(n/2)+1, floor(n/2)+2,...n
刚开始打算通过公式证明最有一个叶节点的父节点为floor(n/2),最后没能成功(数学太渣)。。。
根据二叉堆的性质:某节点下标为i(非根节点),其父节点的下标为floor(i/2),因此最后一个叶节点的父节点的下标为floor(n/2),所以从下标floor(n/2)+1开始到n都是叶节点。
5.写出最小堆中维持最小堆性质的操作(本来要求写伪代码)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
void min_heapify(int A[], int length, int i){
int l = 2 * i;
int r = 2 * i + 1;
int smallest;
if(l <= length && A[l] < A[i])
smallest = l;
else
smallest = i;
if(r <= length && A[r] < A[smallest])
smallest = r;
if(smallest != i){
int temp = A[smallest];
A[smallest] = A[i];
A[i] = temp;
min_heapify(A, length, smallest);
}
}
6.将max_heapify()函数的递归调用改为迭代结构,使效率提高。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
void max_heapify(int A[], int length, int i){
int l, r;
int largest, temp;
while(i <= length){
l = 2 * i;
r = 2 * i + 1;
if(l <= length && A[l] > A[i])
largest = l;
else
largest = i;
if(r <= length && A[r] > A[largest])
largest = r;
if(largest != i){
temp = A[largest];
A[largest] = A[i];
A[i] = temp;
i = largest;
}
else
break;
}
}