WC2017 Day2

WC2017 Day2

基于物理的信息学竞赛知识

0x00 用处？

• 模拟这个世界
• 物理引擎
• 工程学
• OI！

0x01 Overview

1. 基础物理模拟
2. Signed Distance Function（如何处理物理边界）
3. State of the arts

0x02 高中数学/物理

• 导数
• 牛顿三定律
• 胡克定律（弹簧）
• 万有引力定律

1.你有一个装置，能在高度h处射出初速度为v的子弹，问子弹在初速度方向运动距离

• 高中物理题，解显而易见
• 如果考虑空气阻力？空气阻力正比于速度的平方？三次方？

很难找到解析解，只能一帧一帧模拟，取数值解

//主循环基本结构
t=0,dt=0.001; //dt越小模拟越精确，但是耗时越长
while(t<T){
    velocity+=dtforce/mass; //v+=dtf/m
    position+=dt*velocity;
    t+=dt;
}

2.两个球被理想弹簧连接，给出弹簧的k和l，球的初始位置与初始速度，求一段时间后两个球的位置

同样可以使用模拟的方法解决

//考虑这种主循环
t=0,dt=0.001;
while(t<T){
    velocity2=velocity+dtforce/mass;
    position+=dtvelocity;
    velocity=velocity2;
    t+=dt;
}

• 同时更新速度和位置，但都用更新前的速度和位置去更新
• 这种方法被称为前向欧拉法，这种方法在数值上不稳定，不满足能量守恒
• 考虑一个简单太阳系模型，只有地球和太阳，前向欧拉法会导致地球不断远离太阳
• 具体原因可以用特征值和特征向量解释，特征值大于1，特征向量在多次模拟后就爆炸了。在此按下不表

后向欧拉法呢？

• 同时更新速度和位置，但都用更新后的速度和位置去更新
• 看上去好像也不守恒，会把地球向太阳推一点
• 特征值都小于1，特征向量多次模拟后会收敛成0，起码收敛了
• 这和有空气阻力的时候很像啊？
• 这给我们一些启示，似乎可以尝试在前向欧拉法里加一些空气阻力来使系统稳定

都不精确，怎么办？

• 根本原因是机械能不守恒
• 有时Eular-Crom会好使，就是我在第一个主循环里写的那个
• RK2算法
• 想法很显然，我们取dt一半处的速度更新位置
• 比较精确

3.模拟一堆球被弹簧连接？

• 和两个球的情况类似
• 被称为弹簧——质点系统

4.模拟一块布？

• 把布剖分成三角形网格

5.模拟一个果冻？

• 四面体剖分，我们期望最后网格中都是三角形

dt与稳定性与精度

• 显然dt越小，稳定性和精度越好
• 稳定未必精确：后向欧拉无条件稳定
• 精确未必稳定：同理，RK2精确但没有后向欧拉稳定
• 关系很复杂

0x03 Signed Distance Field/Function(SDF 有符号距离场)

三维生物小明站在(x,y,z)，在每个点(ia,jb,k*c)上有一个直径r（r<a,b,c）的气球

小明随便乱扔飞镖，求打中气球的概率，精确到1%

• 精度要求很低，考虑随机一些方向，如何快速判断能否击中气球？

SDF

• 给定一个点集S
• 一个点x到S的距离定义为x到S中所有点距离的最小值
• 如果这个S将平面划分为两部分，定义S内部的点到S距离为负，外部的点到S距离为正
• 此即为SDF
• 单位圆的SDF？$ sqrt{x^2+y2}-1 $
• 矩形的SDF？请有兴趣的读者自行证明。
• 如何形成两个图形的并的SDF？两个图形SDF取个min？
• 好像不太行，虽然图形的并外面是对的，但是里面不对。不过符号都是对的。
• 如何形成两个图形的交的SDF？两个图形SDF取个max？
• 好像也不太行，这次图形的交里面都是对的，但是外面不对了。

SDB

• 定义Signed Distance Bound(SDB)
• SDB与SDF同号
• 要求|SDB|<=|SDF|
• 其实SDB就是SDF的lower_bound
• SDB可以直接用min和max取并和交
• 这里的min和max都是绝对值以后！

SDB减法

• $ A-B=Acup complement{B} $
• 如何取补集？直接符号取反

用一个正方形的SDF构造很多正方形的SDF？

• 1.这些正方形中心都在x轴上，边与坐标轴平行且位似

• 定义 a Cmod b = $ a-b*left lfloor frac{a}{b}+0.5 ight floor $

• SDF'(x,y)=SDF(x Cmod a,y)

• 2.这些正方形绕一个点旋转对称

• 把极角Cmod一下

• 这个叫Space Folding

• 解决方法实质是把所有点映射到一个正方形上

SDF有什么用？

• Collision Detection（防穿发补丁？）
• 把这个碰撞粒子推出碰撞物体 ，关键在于方向和距离。
• 方向？SDF的法向量，中心差分，前向欧拉搞一搞
• 距离？-SDF

射出一个子弹，问什么时候会撞到SDF表示的边界？

• 这类问题被称作Ray Marching
• 每次至少可以前进SDF(当前位置)距离
• 设置一个eps
• 复杂度是O(可过)，可以卡但一般没人卡
• 括弧，SDB也可以Ray Marching，一般是用SDB做，因为SDF不好求

回到气球的问题

• 对气球搞SDF，配合Space Folding
• 然后Ray Marching

三维生物小红站在(x,y,z)手持一个皮球

提供一个函数d(x,y,z)，返回点(x,y,z)距离边界的距离

有Q个询问，给出初速度和方向

保证边界曲率不会很大，每时每刻运行方向与边界夹角不小于10°，忽略引力，球与边界完美弹性碰撞，输出3次碰撞后的运行方向

分析问题

1. Collision Detection？把SDF缩小球的半径，这样球就等价于点了。
2. 如何求碰撞平面的法向量？中心差分。
3. 如何求反弹后的速度？原速度向量对法向量反射
4. 为什么最多反弹三次？为什么曲率不大？为什么夹角不能太小？为了减小误差。

终极问题

给出一些星体，模拟它们的运动

• 全裸：$ O(Tn^2) $
• Barnes-Hut Tree Code
• 把较远的一些点合并成一个质点

0x04 前沿应用

如何模拟水

• 表现成一堆粒子/场
• 有很多方法Eulerian V.S. Lagrangian
• 两个特点：质量守恒（粒子化）和不可压缩性（压强场）

如何模拟刚体

• 碰撞处理

可并行算法与分布式编程

杜教啊orz

杜教好像没怎么准备好

0x00 OI中的常见并行算法

• Bitset（详见2014年沈洋论文）

• 排序网络（详见2016年金策论文）

• 通过所有的01序列测试可以判断一个网络是否是排序网络

• 在许多排序相关问题中只要考虑01序列就可解决

0x01 分布式编程

什么是分布式编程？

• 你有n台计算机（n一般为100）
• 你要使用这n台计算机共同完成一些任务
• 计算机节点之间可以互相通信，但是通信的代价比较高昂，需要将许多信息放在一起传输
• 可以使用库在本机搭起一个分布式环境

分解一个$ 10^18 $那么大的数的质因数？

分段检验

素数筛？

思想类似

卷积？

FFT每一步本来就是并行的

排序？

1. 随机选一小部分，排序
2. 剩下的大部分按照小部分排序结果分到各个节点上，分别排序并合并

$ 10^9 $个数，有一个数出现的次数了超过一半，找出那个数？

每个节点处理$ 10^7 $个数，维护一个出现次数最多的计数器

$ 3.5*10^8 $ 个数，求最小的只出现过一次的数？

（留给有兴趣的读者自行思考

• 哈希以后再发
• 排序
• 都行

RMQ?

• ST表每一层可以并行
• 建线段树也可以并行
• 询问怎么办？
• 实质上每个询问需要查询$ log_2{n} $个值
• 线段树上的值哈希打乱丢到M个节点里

逆序对？

• 划分成$ sqrt{M} $段，两两求逆序对
• 能不能把$ nlog_2{n} $的做法除个M？
• 2k次二分出归并过程中长为k的两段中的第l大数
• 注意所有2k次二分可以并行进行

字符串匹配？

• 哈希可搞
• KMP不太可搞

后缀数组？

也能并行，但需要传输的信息太多，要$ nlog_2{n} $

求回文子串个数？

• Manacher不太可搞
• 分k块Manacher+inom{k}{2}个节点枚举端点位置+拓展KMP求LCP
• 这里几乎掉线
• 其实可以做到$ frac{N}{M} $，没听懂不表

动态规划？

• 只考虑N*N的二维动规
• 状态值只和左上有关
• 按对角线计算可以并行
• 具体实现时可以按列进行，每算完$ frac{N}{M} $个传给右边一列
• 石子归并？
• 每个步长并行计算

图论算法？

一般只适用稠密图且点数较少

极大独立集？

Luby算法

图的染色？

Luby算法

0x02 后记

• 妈呀后面根本听不懂
• 掉线不能重连
• 也许我可以给我的学弟们讲这个。。。他们可能会用到。。
• 据说WC会有一道分布式算法题，害怕，然而我串行算法都不会写，不要说并行了