已知椭圆 (C:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}(a>b>0)) 的左右焦点分别为为 (F_1,F_2,)
过 (F_1) 的直线 (l) 交 (C) 于 (A,B) 两点. 若 (overrightarrow{AF_1}=dfrac{4}{7}overrightarrow{AB},
|AF_2|=|F_1F_2|,) 则椭圆 (C) 的离心率为 ((qquad))
(mathrm{A.}dfrac{2}{7}qquad) (mathrm{B.} dfrac{3}{7}qquad) (mathrm{C.}dfrac{4}{7}qquad) (mathrm{D.}dfrac{5}{7})
解析: 法一 如图
根据题意知 $|AF_2|=2c,$ 结合椭圆的定义得 $$ |AF_1|=2(a-c),$$ 又 $overrightarrow{AF_1}=dfrac{4}{7}overrightarrow{AB}$, 则 $$|BF_1|=dfrac{3}{2}(a-c), |BF_2|=dfrac{1}{2}(a+3c) .$$ 取 $AF_1$ 的中点 $E,$ 连接 $F_2E,$ 又因为 $$ |AF_2|=|F_1F_2| ,$$所以在 $ mathrm{Rt} riangle EF_2A,mathrm{Rt} riangle EF_2B$ 中, 应用勾股定理得 $$AE^2+EF_2^2=AF_2^2,BE^2+EF_2^2=BF_2^2,$$ 代入数值并运算可得 $7c=5a ext{ 或 } a=c$ $( $舍去 $),$ 所以 $e=dfrac{5}{7},$ 选项 $mathrm{D}$ 正确.法二 设椭圆的半焦距 为 $ c$.
如图, 设 $angle AF_1F_2= heta$, 则由椭圆的焦半径公式 $mathrm{II}$ 可得 $$ |AF_1|=dfrac{ep}{1-ecos heta}, |BF1|=dfrac{ep}{1+ecos heta}, $$ 其中 $p$ 为椭圆的焦准距, $p=dfrac{b^2}{c}$. 由 $overrightarrow{AF_1}=dfrac{4}{7}overrightarrow{AB}$ 可得 $$ dfrac 43=dfrac{|AF_1|}{|BF_1|}=dfrac{1+ecos heta}{1-ecos heta}. $$ 解得 $ecos heta =dfrac 17$. 从而可得 $$ 2c=|F_1F_2|=|AF_2|=2a-|AF_1|=2a-dfrac{ep}{1-frac 17}=2a-dfrac 76cdot dfrac{b^2}{a}. $$ 将 $b^2=a^2-c^2$ 代入并整理可得 $(5a-7c)(a-c)=0$, 因此所求离心率为 $dfrac57$.