【BZOJ2956】模积和-数论分块

测试地址：模积和
做法：本题需要用到数论分块。
题目要求的是：∑ni=1∑mj=1[i≠j](n−⌊ni⌋i)(m−⌊mj⌋j)$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[i\ne j](n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)(m-\lfloor \frac{m}{j}\rfloor j)$
也就是：∑ni=1(n−⌊ni⌋i)∑mj=1(m−⌊mj⌋j)−∑min(n,m)i=1(n−⌊ni⌋i)(m−⌊mi⌋i)$\sum _{i=1}^n(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)\sum _{j=1}^m(m-\lfloor \frac{m}{j}\rfloor j)-\sum _{i=1}^{min(n,m)}(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)(m-\lfloor \frac{m}{i}\rfloor i)$
减号前面那个部分我们在BZOJ1257中讨论过如何用数论分块求了，主要是后面那个部分，我们拆开后发现这个式子等于：
nmmin(n,m)−m∑min(n,m)i=1⌊ni⌋i−n∑min(n,m)i=1⌊mi⌋i+∑min(n,m)i=1⌊ni⌋⌊mi⌋i2$nmmin(n,m)-m\sum _{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i-n\sum _{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{m}{i}\rfloor i+\sum _{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{i}\rfloor i^2$
第一项直接算，第二、三项数论分块，这里只讨论第四项。
我们知道不同的⌊ni⌋$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$将区间分成2n−−√$2\sqrt{n}$块，那么不同的⌊ni⌋$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$和⌊mi⌋$\lfloor \frac{m}{i}\rfloor$共同把区间分成了多少块呢？答案是不超过2(n−−√+m−−√)$2(\sqrt{n}+\sqrt{m})$块，证明很容易这里就不讲了，总之也用数论分块算这一块，需要用到∑ni=1i2=n(n+1)(2n+1)6$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$这个结论来算前缀和，以上算法的复杂度就是O(n−−√)$O(\sqrt{n})$的了。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=19940417;
ll n,m,ans=1,tot1,tot2,tot3,inv;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    tot1=0;
    for(ll i=n;i>=1;i=(n/(n/i+1)))
    {
        ll l=(n/(n/i+1))+1,r=i;
        tot1=(tot1+(n/i)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2))%mod;
    }
    tot2=0;
    for(ll i=m;i>=1;i=(m/(m/i+1)))
    {
        ll l=(m/(m/i+1))+1,r=i;
        tot2=(tot2+(m/i)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2))%mod;
    }
    ans=(n*n%mod-tot1+mod)%mod*(m*m%mod-tot2+mod)%mod;

    tot1=0;
    for(ll i=min(n,m);i>=1;i=(n/(n/i+1)))
    {
        ll l=(n/(n/i+1))+1,r=i;
        tot1=(tot1+(n/i)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2))%mod;
    }
    tot2=0;
    for(ll i=min(n,m);i>=1;i=(m/(m/i+1)))
    {
        ll l=(m/(m/i+1))+1,r=i;
        tot2=(tot2+(m/i)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2))%mod;
    }
    tot3=0;
    inv=3323403;
    for(ll i=min(n,m);i>=1;i=max(n/(n/i+1),m/(m/i+1)))
    {
        ll l=max(n/(n/i+1),m/(m/i+1))+1,r=i;
        ll sumr=r*(r+1)%mod*(2*r+1)%mod*inv%mod,suml=(l-1)*l%mod*(2*(l-1)+1)%mod*inv%mod;
        tot3=(tot3+(sumr-suml+mod)%mod*(n/i)%mod*(m/i)%mod)%mod;
    }
    ans=(ans-(n*m%mod*min(n,m)%mod-m*tot1%mod-n*tot2%mod+tot3)%mod+mod)%mod;

    printf("%lld",ans);

    return 0;
}