素数判断算法

• 质数只能被1和自己本身整除的数
• 如:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97...

方法1:时间复杂度O(n)

• 最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可

  function  isPrime(num){
      if(num ==2 || num==3)
              return true;
      for (var i = 2;i <= n-1;i++) {
        if(num % i ==0){
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

方法2:时间复杂度O(logN)

• 上述判断方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1
• 我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数，一定是一个小于等于sqrt(n)和一个大于等于sqrt(n)
• 据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数
  12
  1×12=12
  2×6=12
  3×4=12
  4×3=12
• 能被2整除的数一定不是素数，所以不用被4、6整除，这样能减少n/2次执行次数
• 能被3整除的数一定不是素数，所以不用被6、9整除，这样能继续减少执行次数

  function  isPrime(num){      
      if(num ==2|| num==3 )
        return true;
      var temp = parseInt(Math.sqrt(num));
      for (var i = 2;i <= temp;i++) {
        if(num % i ==0){
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

方法3:时间复杂度

• 2x,3x,5x肯定不是质数
• 此时判断质数可以2个为单元快进，即在循环中i++步长加大为2，加快判断速度

function isPrime(num){
  if(num ==2 || num==3)
        return true;
  if(num % 2 == 0 || num % 3 == 0 || num % 5 == 0)
    return false;				
  var temp = parseInt(Math.sqrt(num));
  for (var i = 7;i <= temp;i=i+2) {
    if(num % i == 0){
      return false;
    }
  }
  return true;
}		

方法4:时间复杂度

• 证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：
• ······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······
• 可以看到，6的倍数两侧之外的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再加上6x本身也不是素数
  • 所以在6的倍数两侧的一定是质数,及:if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return false ;
  • 在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数
• 此时判断质数可以6个为单元快进，即在循环中i++步长加大为6，加快判断速度
  • 原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立
  • 另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。
  • 综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是方法（2）的3倍

function isPrime(num){
  //两个较小数
  if(num == 2 || num == 3 )
      return true ;
  //不在6的倍数两侧的一定不是质数
  if(num%6 != 1 && num%6 != 5){
      return false ;
  }    
  var tmp =Math.sqrt(num);
  //在6的倍数两侧的也可能不是质数
  for(var i = 5;i <= tmp; i+=6 )
      if(num%i == 0 || num%(i+2) == 0)
          return false ;                 
  return true;
}