题目描述
简单介绍一下八数码问题：
在一个3×3的九宫格上，填有1~8八个数字，空余一个位置，例如下图：
1 2 3
4 5 6
7 8
在上图中，由于右下角位置是空的，你可以移动数字，比如可以将数字6
下移一位：
1 2 3 1 2 3
4 5 6 → 4 5
7 8 7 8 6
或者将数字 8 右移一位：
1 2 3 1 2 3
4 5 6 → 4 5 6
7 8 7 8
1~8按顺序排列的情况称为“初始状态”（如最上方图）“八数码问题”即是
求解对于任意的布局，将其移动至“初始状态”的方法。
给定一个的九宫格布局，请输出将它移动至初始状态的移动方法的步骤。
输入
输入包含多组数据，处理至文件结束。每组数据占一行，包含8个数字
和表示空位的‘x’，各项以空格分隔，表示给定的九宫格布局。
例如，对于九宫格
1 2 3
4 6
7 5 8
输入应为：1 2 3 x 4 6 7 5 8
注意，输入的数字之间可能有(不止一个？)空格。
输出
对于每组输入数据，输出一行，即移动的步骤。向上、下、左、右移动
分别用字母u、d、l、r表示；如果给定的布局无法移动至“初始 状态”，
请输出unsolvable。 如果有效的移动步骤有多种，输出任意即可。
首先先介绍一下A*算法
A*算法是 BFS 的一种改进。
定义起点 (s) ，终点 (t) 。
从起点（初始状态）开始的距离函数 (g(x)) 。
到终点（最终状态）的距离函数 (h(x), h*(x)) 。
定义每个点的估价函数 (f(x)=g(x)+h(x)) 。
A*算法每次从 优先队列 中取出一个 (f) 最小的，然后更新相邻的状态。
如果 (hleq h*) ，则 A*算法能找到最优解。
上述条件下，如果 (h) 满足三角形不等式，则 A*算法不会将重复结点加入队列 。
其实…… (h=0) 时就是 DFS 算法， (h=0) 并且边权为 (1) 时就是 BFS 。
对于八数码问题（A*经典题）
(h) 函数可以定义为，不在应该在的位置的数字个数。
容易发现 (h) 满足以上两个性质，此题可以使用 A*算法求解。
代码实现：
/*
A* BFS
1)首先根据逆序对来判断是否有解
2)用状态的曼哈顿距离来作为估价函数
3)BFS {
1、预处理，需要存储步数和上一步状态
2、定义优先队列来进行搜索
3、根据答案倒推出答案
}
*/
/*---------------------------------*/
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int getval(string str) { //使用曼哈顿距离作为估价函数
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < 9; i++) {
if(str[i] == 'x') continue;
int t = str[i] - '1';
cnt += abs(i / 3 - t / 3) + abs(i % 3 - t % 3); //计算曼哈顿距离
}
return cnt;
}
string bfs(string start) {
string end = "12345678x", opt = "urdl"; //存储目标状态和操作
int wk[4][2] = {{-1,0}, {0,1}, {1,0}, {0,-1}};
map<string, int> dist;
map<string, pair<char, string> > prev; //记录上一步操作和上一步的状态
priority_queue<pair<int, string>, vector<pair<int, string> >, greater<pair<int, string> > > heap; //小根堆作为BFS的"队列"
dist[start] = 0; //初始距离为0
heap.push(make_pair(getval(start), start));
while(!heap.empty()) {
pair<int, string> t = heap.top(); heap.pop(); //取+弹
//处理当前状态
string state = t.second;
if(state == end) break;
int x, y; //存储'x'的坐标
for(int i = 0; i < 9; i++)
if(state[i] == 'x') {
x = i / 3, y = i % 3;
break;
}
string str = state; //存储当前state状态方便复位
for(int i = 0; i < 4; i++) {
int dx = x + wk[i][0], dy = y + wk[i][1];
if(dx >= 0 && dx < 3 && dy >=0 && dy < 3) {
state = str;
swap(state[x*3 + y], state[dx*3 + dy]); //四个方向交换
if(!dist.count(state) || dist[state] > dist[str] + 1) { //更新(未到过或不是最短)
dist[state] = dist[str] + 1;
prev[state] = make_pair(opt[i], str);
heap.push(make_pair(dist[state] + getval(state), state));
}
}
}
}
string ans;
while(end != start) {
ans += prev[end].first;
end = prev[end].second;
}
reverse(ans.begin(), ans.end()); //翻转得到答案
return ans;
}
int main() {
char ch;
while(cin >> ch) {
string start, judge; //judge存是否有解,start存起始状态
start += ch;
if (ch != 'x') judge += ch;
for (int i = 0; i < 8; i++) {
cin >> ch; start += ch;
if (ch != 'x') judge += ch; //judge判断是否有解
}
int cnt = 0; //存储逆序对
for (int i = 0; i < 8; i++)
for (int j = i; j < 8; j++)
if (judge[i] > judge[j]) cnt++;
if (cnt & 1) cout << "unsolvable" << endl; //逆序对为奇数则无解
else cout << bfs(start) << endl;
}
return 0;
}
//IDA*
参考：
八码数-IDA*算法https://blog.csdn.net/weixin_43769146/article/details/103102622
八码数有解条件推广https://blog.csdn.net/tiaotiaoyly/article/details/2008233#commentBox
曼哈頓距離wiki讲解https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2
八数码的八个境界 https://www.cnblogs.com/goodness/archive/2010/05/04/1727141.htmlEight HDU - 1043