生成函数学习笔记

配套练习总地址 后面将只会写出题号（如：CF666D ），题解+代码都可以在这里找到。

学习博文是 多项式计数杂谈 ，结合了一些别的东西和自己的理解。

前置

• 建议看看 《具体数学》或者至少手头上有书
• 确保你会 1 2 3 中大部分的基础内容，不至于推出式子不会算。

微积分常用公式

求导线性性 ：

[egin{cases} (F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)\\ (c*F(x))'=c*F'(x) end{cases} ]

基本求导法则 ：

[(C')=0\\ (x^k)'=kx^{k-1}\\ (e^x)'=e^x,(ln(x))'=dfrac 1x\\ (a^x)'=a^xln a,(log_ax)'=dfrac 1{xln a}\\ (sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x\\ (F(x)G(x))'=F'(x)G(x)+F(x)G'(x)\\ left(dfrac{F(x)}{G(x)} ight)'=dfrac{F'(x)G(x)-F(x)G'(x)}{G^2(x)} ]

链式法则 ：(dfrac{d}{dx}dfrac{dx}{dz}=dfrac{d}{dz})

复合函数求导 ：（使用链式法则）

[G(F(x))dfrac{d}{dx}=G(F(x))dfrac{d}{dF(x)}dfrac{dF(x)}{dx}=G'(F(x))F'(x) ]

洛必达法则 ：

如果 (limlimits_{x o x_0}F(x)=0) ，(limlimits_{x o x_0}G(x)=0) ，且 (G'(x) eq 0) ，那么有

[lim_{x o x_0}dfrac{F(x)}{G(x)}=lim_{x o x_0}dfrac{F'(x)}{G'(x)} ]

常见不定极限的形式有 (dfrac{infin}{infin},infin-infin,0*infin) ，经过一些变化都能变成 (dfrac{0}{0}) 形式。

泰勒展开及牛顿迭代 ：见 多项式基础学习笔记(1) 相关部分。

有限微积分

可以参考 《具体数学》2.6 有限微积分和无限微积分 .

无限微积分基于由

[Df(x)=lim_{h o 0}dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} ]

定义的微分算子 (D) ，逆运算为 (int) .

有基本规则（就是求导那个最简单的式子）：(D(x^m)=mx^{m-1}) .

有限微积分基于由

[Delta f(x)=f(x+1)-f(x) ]

定义的差分算子 (Delta) ，逆运算为 (sum) .

对于 (Delta) ，下降幂有类似的优美规则：(Delta(x^{underline m})=mx^{underline{m-1}}) ，是基本的阶乘结果。

对下降幂求和，类似 (int x^k=dfrac{x^{k+1}}{k+1}) ，有 (displaystylesumlimits_{i=0}^{n-1}i^{underline k}=dfrac{n^{underline{k+1}}}{k+1}) 。特别地，当 (k=-1) 时，有 (sumlimits_{i=0}^{n-1}i^{underline{-1}}=sumlimits_{i=1}^ndfrac 1i) 。

定义移位算子 (Ef(x)=f(x+1)) ，有分部求和法则：(displaystyle sum uDelta v=uv-sum EvDelta u) .

阶乘幂的性质

阶乘幂就是上升幂和下降幂的统称。

[x^{underline{a+b}}=x^{underline a}(x-a)^{underline b},x^{overline{a+b}}=x^{overline a}(x+a)^{overline b}\\ x^{underline n}=(-1)^n(-x)^{overline n},x^{overline n}=(-1)^n(-x)^{underline n} ]

下降幂多项式：《具体数学》5.3 处理的技巧 - 技巧2：高阶差分 里面提到，能将通常幂表示成下降幂的和式。下降幂的求和是相当容易的（见上面的式子）。

二项式反演

这里简单给出二项式反演的两个形式。

[f(n)=sumlimits_{i=n}^m{ichoose n}g(i)Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=n}^m(-1)^{i-n}{ichoose n}f(i) ]

（听说下面那种更常用……可能我做题比较少）

[f(n)=sumlimits_{i=0}^n{nchoose i}g(i)Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{nchoose i}f(i) ]

二项式反演+下降幂的两道练习题：

P4921 ：二项式反演+简单容斥

CF755G ：二项式反演+组合+化下降幂

生成函数

幂级数和封闭形式

(F(x)=sumlimits_{i=0}^{infin}F[i]x^i) 被称为 幂级数 ，系数 (F[i]) 可以看做一个数列。那么幂级数也可以用如下方式得到：对于一个数列，将每个数附上 (x) 的幂，得到一个幂级数。例如，数列 (left<1,1,cdots ight>) 所得到的幂级数是 (F(x)=sumlimits_{i=0}^{infin}x^i) ，观察 (F(x)) 和 (xF(x)) ，有 (F(x)=xF(x)+1) ，于是有：(F(x)=dfrac{1}{1-x}) ，这就是它的生成函数。

这里可能会产生一个问题：(F(x)) 收敛当且仅当 (|x|<1) ，但 幂级数收敛只是构造的条件 ，而非自然推导的产物。

一种理解是 多项式基础学习笔记(1) 开头提到的界的概念， (displaystylesumlimits_{i=0}^{infin}x^imod x^n=sumlimits_{i=0}^{n-1}x^i=dfrac{1-x^n}{1-x}) 有界。

另一种可以参看 rqy 的博文：浅谈 OI 中常用的一些生成函数运算的合法与正确性 .

类似 (dfrac{1-x^n}{1-x}) 这样，相对和式或递归式更加简洁的式子，称为 “封闭形式” 。一些推导封闭形式的方法可以自行查阅《具体数学》，这里仅仅列举将和式转化为封闭形式的常见方式：

• 归纳法
• 扰动（就是将某一项（通常是头尾）剥离或加入进去，从而得到便于计算的式子），并利用交换求和次序等一些推式子常用技巧，或是将式子一般化（复杂化），然后再简化
• 成套方法（对于递推式建立的一般方法）
• 用积分替换和式，有限微积分
• 生成函数

(left<1,a,a^2,a^3,cdots ight> o F(x)=axF(x)+1) ，所以 (F(x)=dfrac{1}{1-ax}) 。类似这样的推导是很常见的手段之一：将递推式适当乘上 (x) 的幂次然后错位，用 (F(x)) 表示它自己，进而得到封闭形式。

下面将给出一些数列的推导。

Eg 1. 斐波那契数列

令 (F[i]) 表示数列第 (i) 项，(F[0]=0,F[1]=1) .

首先，写成生成函数的形式：(F(x)=sumlimits_{i=0}^{infin}F[i]x^i) 。然后，利用上面的错位技巧，结合斐波那契数列的递推式和前两项有关，不难想到用 (xF(x),x^2F(x)) 来推导：

[egin{aligned} F(x)=sum_{i=1}F[i]x^i, xF(x)=sum_{i=1}F[i-1]x^i,x^2F(x)=sum_{i=2}F[i-2]x^i end{aligned} ]

由于 (F[i]=F[i-1]+F[i-2]) ，所以相加得到：

[xF(x)+x^2F(x)=F[0]+sum_{i=2}(F[i-2]+F[i-1])x^i=F[0]+sum_{i=2}F[i]x^i=F(x)-x ]

于是就有

[F(x)=dfrac{x}{1-x-x^2} ]

这个封闭形式能求出斐波那契的通项公式 虽然没那么好看 ：

令 (x_1,x_2) 为 (1-x-x^2) 的两实根，有

[F(x)=dfrac{x}{(x-x_1)(x-x_2)}=xcdot dfrac{1}{x_2-x_1}cdot left(dfrac{1}{(x-x_1)}-dfrac{1}{(x-x_2)} ight) ]

发现对 (dfrac{1}{x-x_1}) 的分母取相反数，可以得到一个类似 (dfrac{1}{1-x}) 的形式（别忘了，我们要求通项！所以必须要逆用封闭形式），那么考虑将它转化成这个形式

[F(x)=dfrac{x}{x_2-x_1}cdotleft(dfrac{1}{x_2}cdotdfrac{1}{1-x/x_2}-dfrac{1}{x_1}cdotdfrac{1}{1-x/x_1} ight) ]

直接逆用封闭形式就能得到

[F(x)=dfrac{x}{x_2-x_1}cdot left(dfrac{1}{x_2}sum_idfrac{x^i}{x_2^i}-dfrac{1}{x_1}sum_idfrac{x^i}{x_1^i} ight) ]

提出 ([x^n]) ，然后将 (x_1,x_2) 实值带入即可。

Eg 2. 特征方程(解二阶递推式)

一阶的成套方法可以在《具体数学》第二章中找到。

求解 (F[n]=a*F[n-1]+b*F[n-2]) 的通项公式，其中 (F[0],F[1]) 已知。

不妨设 (F) 是一个公比为 (q) 的等比数列，将所有 (F[]) 换成 (F[n-2]) 并用 (n o n-2) 得

[q^2F(n)=aq*F(n)+bF(n)=>q^2-aq-b=0 ]

设得到的两根为 (q_0,q_1) ，那么 (F[n]=x_0q_0^n+x_1q_1^n) 也必然满足递推公式，所以只需要用 (F[0],F[1]) 求出 (x_0,x_1) 即可。

Eg 3. 常系数齐次线性递推(获取封闭形式)

设对于数列 (F) 和递推系数 (C) ，当 (nge k) 时有 (C[0]=1) ，(displaystyle sumlimits_{i=0}^kC[i]F[n-i]=0) ，那么称 (F) 满足 (k) 阶线性常系数递推关系。令 (F(x)) 为 (F[n]) 的生成函数，构造

[F_t(x)=C[t]x^tleft(F(x)-sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i ight) ]

提出上式的 ([x^n]) 系数，得到的 ([nge k]C[t]F[n-t]) 就符合定义式，所以 (displaystylesum_{t=0}^kF_t(x)=0) ，即

[sum_{t=0}^kC[t]x^tleft(F(x)-sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i ight)=0\\ =>left(sum_{t=0}^kC[t]x^t ight)F(x)=sum_{t=0}^{k-1}left(C[t]x^t-sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i ight) ]

左式是 (C) 的生成函数，右边次数小于 (k) ，设为 (P(x)) ，得到 (C(x)F(x)=P(x)) ，即 (F(x)=dfrac{P(x)}{C(x)}) 。

这样就得到了 (F) 的生成函数。

(hugecolor{red}具体操作咕咕咕，待填坑)

Eg 4. 卡塔兰数

(C[0]=1) ，(C[n]) 表示 (n) 对括号的合法序列个数。有 (C[n+1]=sum_{i=0}^nC[i]C[n-i]) 。

令其自卷，得到

[C^2[k]=sum_{i=0}^kC[i]C[k-i]=C[k+1] ]

而 (C[k+1]) 的幂级数是 (dfrac{C(x)-1}{x}) （相当于是整个 (C[k]) 序列平移到了 (C[k+1]) 序列），所以有

[C(x)^2=dfrac{C(x)-1}{x}=>C(x)=dfrac{1pm sqrt{1-4x}}{2x} ]

而生成函数有重要假设是其收敛，那么只需要验证 (lim_{x o 0}C(x)=C[0]=1) 即可，发现必须取负号。

由广义二项式定理，有 (displaystylesqrt{1-4x}=sumlimits_{i=0}^{infin}inom{1/2}{i}(-4x)^i) ，所以可以得到系数

[C[k+1]=dfrac{1+inom{1/2}{k}(-4x)^i}{2} ]

另一种方式是用广义二项式级数得到：（参见《具体数学》5.4 生成函数 ）

[mathcal{B}_2(z)=sum_kinom{2k}{k}dfrac{z^k}{1+k}=sum_kinom{2k+1}{k}dfrac{z^k}{1+2k}=dfrac{1-sqrt{1-4z}}{2z} ]

系数即为 (displaystyle inom{2n}{n}dfrac{1}{n+1}) .

生成函数组合计数初步

组合对象

一般指满足某一性质的图、串等对象组成的集合 (A) ，每个元素 (ain A) 被定义了一个函数 (siz(a)) （如节点个数、串长），对于某个固定的 (n) ，记 (siz(a)=n) 的 (a) 的个数为 (A[n]) .

OGF

基本概述

普通生成函数 ordinary generating function

数列 (F[n]) 的 OGF 为 (F(x)=sumlimits_{i=0}F[i]x^i) 。例如：

[{0,1,dfrac 12,dfrac 13,dfrac 14,cdots}xrightarrow{OGF}lndfrac{1}{1-x}=-ln(1-x)\\ {1,1,dfrac{1}{2!},dfrac{1}{3!},cdots}xrightarrow{OGF}e^x ]

无标号对象的笛卡尔积

集合 (A_1,A_2,cdots,A_n) 的笛卡尔积为 ({(a_1,cdots ,a_n)||a_1in A_1,a_2in A_2,cdots ,a_nin A_n}) ，记为 (A_1 imes cdots imes A_n) ，也就是从每个集合中各取一个元素形成的有序多元组集合。

对于两个无标号组合对象 (A,B) ，令 (D=A imes B) ，且 (D) 中的每个元素 (d) 为二元组 ((a,b)) ，(ain A,bin B) ，(siz(d)=siz(a)+siz(b)) ，于是有 (D(x)=A(x)*B(x)) .

其实就是一个类似背包的思想，(A) 里面拿一个，(B) 里面拿一个，拼成 (D) 里的那个。

Eg 骨牌问题

有若干种颜色互不相同的骨牌，其中长度为 (i) 的骨牌有 (A[i]) 种，每种可以无限使用，求不重叠铺满 (n) 个长度的方案数。

不难想到 (A(x)^k) 就是 (k) 个骨牌拼接的方案数（可以类比矩阵加速中，计算经过 (k) 条路之后的可达性的问题，更好理解），那么生成函数就是 (dfrac{1}{1-A(x)}) ，求逆即可。

一个子问题就是斐波那契数，可以看做 ({1,2}) 的拼接序列。

另一个子问题：P4451 ，骨牌+二次剩余+特征方程

实战演练

UVA12298 ：背包+笛卡尔积

CF438E ：构造式子

CF917D ：树形DP+Prufer结论+组合意义

EGF

基本概述

指数型生成函数 exponential generating function

对于数列 (F[n]) ，其 EGF 为 (F(x)=sumlimits_{i=0}F[i]dfrac{x^i}{i!}) 。两个 EGF 的乘法如下：

[dfrac{(F*G)[k]}{k!}=sum_{i+j=k}dfrac{F[i]}{i!}dfrac{G[j]}{j!}\\ (F*G)[k]=sum_{i+j=k}dfrac{k!}{i!j!}F[i]G[j]=sum_{i+j=k}inom{k}{i}F[i]G[j] ]

常见 EGF 的例子：

[{1,1,cdots}xrightarrow{EGF}e^x,{1,-1,1cdots }xrightarrow{EGF}e^{-x}\\ {1,c,c^2,cdots }xrightarrow{EGF}e^{cx}\ {1,a,a^{underline 2},a^{underline 3},cdots }xrightarrow{EGF}(1+x)^a ]

有标号对象的笛卡尔积

两个有标号对象 (a,b) ，设其标号为 (1sim siz(a),1sim siz(b)) ，拼接得到 (c) 的方案数为 (displaystyleinom{siz(a)+siz(b)}{siz(a)}) ，也就是从 (siz(a)+siz(b)) 中选出 (siz(a)) 个给 (a) 中的元素，如果不能理解自行学习高中数学排列组合。

Eg 染色问题

rbg 三种颜色染色一个长度为 (n) 的纸条，使得颜色 r b 的个数是偶数，求方案数。

我们可以分别求出单个染色的 EGF 然后再合并（也就是 EGF 卷积），而单个染色的 EGF 分别是 (e^x,dfrac{e^x+e^{-x}}{2}) ，前一个是 ({1cdots}) 的 EGF ，后一个用 ({1cdots}) 及其符号交替形式不难得到。相乘就得到：

[dfrac{e^{3x}+2e^x+e^{-1}}{4},ans[n]=dfrac{3^n+2+(-1)^n}{4} ]

实战演练

HDU1521 (n) 种物品选出 (m) 的排列数，直接 EGF 卷积。

P5219 结论：(n) 点最大度数为 (m) 的树的个数为 (G(n,m-1)-G(n,m-2)) ，(G(n,m)) 为 (left(sumlimits_{i=0}^m dfrac{x^i}{i!} ight)^n) 的第 (n-2) 项。

P5339

exp 的组合意义

(exp F(x)) 的展开式为 (sumlimits_{i=0}dfrac{F(x)^i}{i!}) ，如果将 (F(x)) 看成单个元素的 EGF ，那么 (exp F(x)) 就是这些元素组成的有标号集合。展开式的意义就是枚举元素个数并卷积拼接，由于元素无序所以要除以一个阶乘。这样就能解决一些集合计数问题。

置换计数

置换定义：有限集合到自身的双射。置换其实就是一系列环有标号生成的集合。

给出一个集合 (S) ，求环大小在 (S) 内的 (1sim n) 元置换个数。

一个大小为 (n) 的环的排列总数为 (n!) ，因为环能旋转，所以等价类总数为 ((n-1)!) 。

单个环的 EGF 为 (displaystylesumlimits_{i=1}[iin S]dfrac{(i-1)!x^i}{i!}) ，然后 (exp) 即可。

如果所有大小都可选， (displaystylesum_{i=1}dfrac{(i-1)!x^i}{i!}=-ln(1-x)) ，(exp(-ln(1-x))=dfrac{1}{1-x}) 。

实战演练

P4841 结论：(n) 点简单有标号无向连通图的方案数为 (ln G(x)) ，(G(n)=2^{inom n2}) .

P5162

重要结论

对于一类组合对象 (A) ，由 (A) 种元素组成的序列定义的一类组合对象 (B) ，其生成函数为

[B(x)=sum_{i=0}A(x)^i=dfrac{1}{1-A(x)} ]

这个结论对 OGF ，EGF 均成立。

PGF

基本概述

probabilistic generating function 基于概率的生成函数

对于一个离散随机变量 (Xin N) ，其概率生成函数为 (F(z)=sumlimits_{i=0}P(X=i)z^i) ，(E(X)=sumlimits_{i=0}P(X=i)i=F'(1)) 。

可以进一步拓展到 (E(X^{underline k})=F^{(k)}(1)) （以下用 (F(x)^k) 表示幂次，用 (F^k(x)) 表示求导）

方差计算式：( ext{Var}(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E(X)^2) .

下面用 PGF 来描述方差。

注意到 (X^{underline 2}+X^{underline 1}=X^2) ，而 (E(X^{underline 2})=F''(1)) ，有

[F''(1)+F'(1)=sumlimits_{i=0}i(i-1)P(X=i)+iP(X=i)=sumlimits_{i=0}i^2P(X=i)=E(X^2) ]

所以方差就是 (F''(1)+F'(1)-F'(1)^2) 。

实战演练

P4548 ：典型的掷硬币模型，即进行某个游戏直到终止态，问期望。

P3706 ：上一题的多终止态版本。

HDU4652 ：终止态全部等价的版本。不过用 DP 做更方便。