山区建小学（区间dp+前缀和+预处理）

【题目描述】

　　　　政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

【题目链接】

　　　　http://noi.openjudge.cn/ch0206/7624/

【算法】

1. 定义dp[i][j]为前i个村庄建j个小学，构建状态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j] + cost[i+1][j])  其中cost[i][j]表示第i个村庄到第j个村庄建一个小学的最短距离和
2. 预处理cost数组，众所周知，满足最短距离和的小学应该建在中位数的村庄处，同时也满足递推关系：cost[i][j] = cost[i][j-1] + dist[j] - dist[i+j>>1]
3. 前缀和就是村庄所处位置

【代码】

　　

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int m,n,i,j,k;
int dist[510],cost[510][510],dp[510][510];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    dist[1]=1;
    for(i=2;i<=m;i++)
        cin>>dist[i],dist[i]+=dist[i-1];
    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=i+1;j<=m;j++)
            cost[i][j]=cost[i][j-1]+dist[j]-dist[i+j>>1];
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
    for(i=1;i<=m;i++) dp[i][1]=cost[1][i];
    for(i=2;i<=m;i++)
        for(j=2;j<=min(i,n);j++)
            for(k=j-1;k<i;k++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k+1][i]);
    cout<<dp[m][n];
    return 0;
}