众所周知，最近我在学习代数几何，最近可能会把之前没搞懂的交换代数认真复习一下。这次的主题是准素分解。朴素的操作可见Atiyah经典的书，但是我们拒绝采用这种没有动机而又不清晰的过程。
首先我们熟知的一个交换代数结果是
定理 对于Nother环$R$，有限生成模$M$，那么存在合成列$$0=M_0subseteq M_1subseteq ldots subseteq M_{n-1}subseteq M_n=M$$且因子$M_i/M_{i-1}cong R/mathfrak{p}$对某个素理想$mathfrak{p}$，其中$R/mathfrak{p}$被称为子商。且这样的分解，根据模论版本的蝴蝶引理（Zassenhaus引理），子商总是唯一的。
证明过程无非是朴素地运用链条件。根据其证明过程，实际上我们可以预先指定之中的某些$M_i$。假如我们观察，这个分解的『头部』$0subseteq M_1$说明某个$R/mathfrak{p}$嵌入了$M$。这诱使我们定义如下的伴随素理想（assiciated prime）。
定义（伴随素理想）对于环$R$，模$M$，称素理想$mathfrak{p}$和$M$相关，当且仅当存在单射的模同态$R/mathfrak{p} o M$。等价地，即存在$xin M$使得零化子$operatorname{Ann}(x)={ain R: ax=0}=mathfrak{p}$。记所有的伴随素理想是$operatorname{Ass}_R(M)$。
重要的例子 对于素理想$mathfrak{p}$，$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{p})={mathfrak{p}}$。更精确地说，任何非零元$xin R/mathfrak{p}$都有$operatorname{Ann}(x)=mathfrak{p}$。
下面是两个最为重要的刻画。
定理 关于伴随素理想有如下刻画
- 如果有正合列$0 o N o M o M/N o 0$，那么$$operatorname{Ass}_R(N)subseteq operatorname{Ass}_R(M)subseteq operatorname{Ass}_R(N)cup operatorname{Ass}_R(M/N)$$作为推论如果$M=N_1oplus N_2$，那么$operatorname{Ass}_R(M)=operatorname{Ass}_R(N_1)cup operatorname{Ass}_R(N_2)$
- 对于某个模下递增子模链$N_{lambda}$，那么$$operatorname{Ass}_Rleft(igcup N_{lambda} ight)=igcup operatorname{Ass}_R(N_{lambda})$$
证明 第一个包含关系根据定义是平凡的。第二个包含，假设有单射$R/mathfrak{p} o M$，考虑复合得到的$varphi: R/mathfrak{p} o M/N$，如果$ker varphi=0$，那么$varphi$是单射，证明已经完成，否则$ker varphi eq 0$，此时存在单射$ker varphi o N$，通过任意挑选$ker varphi$的某个非零元，不难得到单射$R/mathfrak{p} o ker varphi$，所证欲明。对于第二点只需要注意到任何$R/mathfrak{p} o igcup N_{lambda}$，必然落在某个$lambda$上。$square$
随即有两个重要的刻画
命题 对于Nother环$R$，有限生成模$M$，那么$$M=0iff operatorname{Ass}_R(M)=varnothing$$
证明 任意选择$xin Msetminus {0}$，使得$operatorname{Ann}(x)$是真理想。如果不是素理想，即存在$a,b$使得$ax eq 0 eq bx$但$abx=0$，此时考虑$operatorname{Ann}(ax)$，注意到$$b otin operatorname{Ann}(x)subseteq operatorname{Ann}(ax) i b$$故长此以往可根据Noether性知终会截止，故成为素理想。$square$
命题 对于Noether环$R$，有限生成模$M$，那么任意$Psisubseteq operatorname{Ass}_R(M)$，都存在子模$N$使得$$operatorname{Ass}_R(N)=Psi qquad operatorname{Ass}_R(M/N)=operatorname{Ass}_R(M)setminus Psi$$
证明 根据前面对于链的刻画，我们可以利用链条件找到极大的子模$N$使得$operatorname{Ass}_R(N)subseteq Psi$。为了说明满足命题中的情况，我们证明$operatorname{Ass}_R(M/N)subseteq operatorname{Ass}_R(M)setminus Psi$。任意$mathfrak{p}in operatorname{Ass}_R(M/N)$，那么考虑$R/mathfrak{p}cong N'/Nsubseteq M/N$，于是$operatorname{Ass}_R(N')subseteq operatorname{Ass}_R(N)cup {mathfrak{p}}$，根据$N$的极大性，必有$mathfrak{p}in operatorname{Ass}_R(N')subseteq operatorname{Ass}_R(M)$，命题得证。$square$
评注 当然，这里实际上对所有环所有模都对。
于是有如下漂亮的推论
推论 对于Nother环$R$，有限生成$M$模，那么
- ${ain R: exists xin Msetminus 0, extrm{ 使得 } ax=0}=igcup_{mathfrak{p}in operatorname{Ass}_R(M)}mathfrak{p}$。
- ${ain R: forall xin M, exists n>0, extrm{ 使得 } a^nx=0}=igcap_{mathfrak{p}in operatorname{Ass}_R(M)}mathfrak{p}$。
- $operatorname{Ass}_R(M)$是有限集。
证明 我们的方法就是重复第一个命题的做法。对于第一条，任意$ain$左边，存在$xin Msetminus {0}$，使得$operatorname{Ann}(x)$是真理想，且含$a$。之后过程相同。对于第二条，注意到左边正是$sqrt{operatorname{Ann}(M)}$，注意到，根据定义任意$M$的伴随素理想根据定义必须含$operatorname{Ann}(M)$。反之任何包含$operatorname{Ann}(M)$的素理想$mathfrak{q}$，考虑局部化$M_{mathfrak{q}}$，这是非零$R_{mathfrak{q}}$模，从而存在伴随素理想， 不难根据局部化$operatorname{Ann}$的计算知道存在$M$的伴随素理想$mathfrak{p}subseteq mathfrak{q}$。最后是有限集的论断来自于合成列（可以任意预先指定中间模）和伴随素理想的定义。$square$
有了上述准备工作，我们就可以定义准素分解了，方便起见，我们只对环定义。
定义 一个理想$mathfrak{q}$被称为是$mathfrak{p}$准素的，如果$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{q})={mathfrak{p}}$。根据上面两点推论，下面这些都是这等价的
- $sqrt{mathfrak{q}}=mathfrak{p}$是素理想，且$mathfrak{q}$是$mathfrak{p}$准素的。
- $R/mathfrak{q} extrm{的所有幂零元}=R/mathfrak{q} extrm{的所有零因子}$。
- $xyin mathfrak{q}iff xin mathfrak{q} extrm{或}yin mathfrak{p}$。
准素分解存在性 对于Noether环$R$，理想$mathfrak{a}$，那么存在有限个准素理想$mathfrak{q}_i$使得$$mathfrak{a}=igcap mathfrak{q}_i$$
证明 假设$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{a})={mathfrak{p}_i}$，这是一个有限集，对每个$mathfrak{p}_i$找$mathfrak{q}_i/mathfrak{a}$使得$$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{q}_i)={mathfrak{p}_i}qquad operatorname{Ass}_R(mathfrak{q}_i/mathfrak{a})=operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{a})setminus mathfrak{p}_i$$根据定义，$mathfrak{q}_i$是理想，令$igcap mathfrak{q}_i=mathfrak{a}'$，那么$$operatorname{Ass}_R(mathfrak{a}'/mathfrak{a})subseteq operatorname{Ass}_R(mathfrak{q}_i/mathfrak{a})=operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{a})setminus mathfrak{p}_i$$这表明$operatorname{Ass}_R(mathfrak{a}'/mathfrak{a})=varnothing$，即$mathfrak{a}=mathfrak{a}'$。所证欲明。$square$
当然数学家不会仅仅满足于存在性，但是唯一性实际上并不总是成立的，例如
例子 对于域$k$，$k[X,Y]$的理想$left<X^2,XY ight>$有$$left<X^2,XY ight>=left<X ight>cap left<X^2,XY,Y^2 ight>=left<X ight>cap left<X^2,Y ight>$$其中$left<X^2,XY,Y^2 ight>$和$left<X^2,Y ight>$都包含$left<X,Y ight>^2$从而是准素的。
更一般地，一个理想$mathfrak{q}$是$mathfrak{m}$-准素的，其中$mathfrak{m}$是极大的当且仅当$mathfrak{m}^nsubseteq mathfrak{q}subseteq mathfrak{m}$对某个$n$。首先$sqrt{mathfrak{q}}=mathfrak{m}$无疑。此时$R/mathfrak{q}$的元素不是单位就是幂零元，故是$mathfrak{m}$-准素的。反之，则容易。
下面的工作都是为了刻画某种条件下的唯一性。
定义（准素分解）对于环$R$，理想$mathfrak{a}$的准素分解是有限个准素理想$mathfrak{q}_i$的交$$mathfrak{a}=igcap mathfrak{q}_i$$且满足
- $mathfrak{a} eq igcap_{i eq j}mathfrak{q}_i$，等价地，$igcap_{i eq j} mathfrak{q}_i subseteq mathfrak{q}_i$。
- 如果$mathfrak{q}_i$是$mathfrak{p}_i$-准素的，那么$mathfrak{p}_i$是两两不同的。
根据上面的过程，对于Noether环，总存在准素分解。
下面是两个唯一性定理。
第一唯一性 对于Noether环，$mathfrak{a}$准素分解中的出现的素理想是唯一的，实际上他们正是$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{a})$。
证明 假设$mathfrak{a}=igcap mathfrak{q}_i$，那么得到单射$R/mathfrak{a} o prod R/mathfrak{q}_i$，这意味着$operatorname{Ass}_R(R/mathfrak{a})subseteq {mathfrak{q}_i}$。反之，任意$mathfrak{q}_i$，考虑$mathfrak{q}_i'=igcap_{j eq i}mathfrak{q}_j$，从而$mathfrak{q}_icap mathfrak{q}_i'=mathfrak{a}$，则有单射$$ mathfrak{q_i}'/mathfrak{a} o R/mathfrak{q}_iqquad mathfrak{q_i}'/mathfrak{a} o R/mathfrak{a}$$再结合$operatorname{Ass}_R(mathfrak{q}_i'/mathfrak{a}) eq varnothing$知$operatorname{Ass}_R(mathfrak{q}_i'/mathfrak{a})={mathfrak{p}_i}$，这就证明了反方向。$square$
第二唯一性 对于Noether环，$mathfrak{a}$准素分解中的出现的准素理想如果对应的伴随素理想是极小的，那么是这个准素理想是唯一的。
证明 假设$mathfrak{a}=igcap mathfrak{q}_i$，分解中$mathfrak{q}_i$对应的素理想$mathfrak{p}$是极小的，那么通过对$Rsetminus mathfrak{p}$局部化得到$S^{-1}mathfrak{a}=igcap S^{-1}mathfrak{q}_i$，这只将$mathfrak{p}_i$的部分保留下来，注意到$S^{-1}mathfrak{q}_i$在$R$中的原像就是$mathfrak{q}_i$，具体来说$x=frac{y}{z}$其中$yin mathfrak{q},z otin mathfrak{p}$，则$xin mathfrak{q}$根据准素理想的定义。所证欲明。$square$
最后我们指出，Noether环上的有限生成模也可以讨论准素分解，其过程大体类似。
本文的主要参考是Allen Altman和Steven Kleinman的A Term of Commutative Algebra讲义。
