本文来自:挑战程序竞赛
以下是我的总结
题目：有n块石头排成一圈。现在要用m种颜色染这n块石头，问一共有多少种不同的染色方案。旋转之后相同的方案视作同一种。输出方案数 mod 1e9+7。
n的范围最大是1e9！！！
题解：
polya计数！！！
我们分n个转角，那么对于转的角度是k个石头的方案数来说：若旋转k个位置之后和原来的相同，那么第i个石头与第（i+k）%n 的石头颜色应该是一样的！！！那么按这个递推下去
第i个石头与第（i+tk）%n 的石头的颜色也应该是一样的。 这样我们就能用 gcd（n,k）判断有多少个循环节 ，然后用n/gcd(n,k)就可以算出循环节的长度。
然后i的轨迹为 i->(i+k) mod n -> (i+2k) mod n -> …… -> (i+k*t) mod n == i
那么对于转角为k，我们将n个石头都划分成这样的若干条轨迹 ，每条轨迹的颜色都染成同样的，那么只要知道轨迹条数就能知道转角为k的染色方案！。这就等于判断有多少个这样的循环节
也就是gcd(n,k) 那么染色方案为 m^(gcd(k,n))
由于n范围为1e9，枚举转角不科学！！！所以我们要统计gcd（k,n）=d的k的个数。很显然 k是d的倍数那么能推出 gcd(dt,n)=d -> gcd(t,n/d) = 1推到这里很容易发现，这个东西就是
求欧拉函数，即求比n/d小的数里面有多少个与 n/d 互质。
那么公式就有了 
由于这个要求d|n的所有欧拉值，所以不能硬算，又不能先预处理，因为n太大。所以考虑欧拉函数的基本定理
所以我们只要预处理出n的所有质因数，然后就可以很快的算出每个因子的欧拉值
时间复杂度大概是（sqrt(n)）
详见代码：
/*********************************************** * _ooOoo_ * * o8888888o * * 88" . "88 * * (| -_- |) * * O = /O * * ____/`---'\____ * * .' \| |// `. * * / \||| : |||// * * / _||||| -:- |||||- * * | | \ - * | | * * | \_| ''---/'' | | * * .-\__ `-` ___/-. / * * ___`. .' /--.-- `. . __ * * ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"". * * | | : `- \`.;` _ /`;.`/ - ` : | | * * `-. \_ __ /__ _/ .-` / / * *======`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'======* * `=---=' * *^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 佛祖保佑 永无BUG 本程序已经经过开光处理，绝无可能再产生bug **********************************************/ /*** . ';;;;;. '!;;;;;;!;` '!;|&#@|;;;;!: `;;!&####@|;;;;!: .;;;!&@$$%|!;;;;;;!'.`:::::'. 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