HDU4658：使用五边形数定理和母函数进行约束整数拆分
之前的那个一个题的公式是这样的：
f[n]=∑(-1)^(k-1)*(f[n-k*(3*k-1)/2]+f[n-k*(3*k+1)/2]) 其中n-k*(3*k-1)/2>=0,n-k*(3*k+1)/2>=0；
加入了限制条件：拆分出来的整数中，任意整数都不能出现k次或k次以上
因此求的时候要使用公式的推导定理，母函数来求
生成函数（也有叫做“母函数”的）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)
1+x+x^2+...
其中的系数f[n]就是全由1组成的n有多少种
1+x^2+x^4+...
其中的系数f[n]就是全由2组成的n有多少种
把这两个式子乘起来就变成了
(1+x+x^2..;.)*(1+x^2...)=1+x+2*x^2+x^3+x^4...
其中x^2系数2表示拆分整数2的方案数
无限制的拆分就可以理解成
中x^n的系数就是所求值
这题加了k的限制，所以得到的生成函数式
G(x)=(1+x+x^2+...+x^(k-1))*(1+x^2+x^4+x^2(k-1))*... =(1-x^k)/(1-x)*(1-x^2k)/(1-x^2)*(1-x^3k)/(1-x^3)... 令y=x^k =∏(1-y^i)/∏(1-x^i)（1<=i<∞） =Q(x^k)/Q(x) (根据五边形数定理得) =Q(x^k)*P(x)
∏(1-x^i)形式的可用五边形数定理来求
然后用这个公式代入
=Q(x^k)*P(x) =( 1 - x^k - (x^k)^2 + (x^k)^5 + (x^k)^7 -... ) * ( 1 + x + 2*x^2 + 3*x^3 + 5*x^4 + 7*x^5 + ... )
这里的P（x）就是无限制拆分里面的那个
它的计算方法是：
p[n]=∑(-1)^(k-1)*(p[n-k*(3*k-1)/2]+p[n-k*(3*k+1)/2])
这样只需要求(1-x^k-x^2k+x^5k+x^7k-x^12k-x^15k+x^22k+x^26k)*(1+p(1)x+p(2)x+p(3)x+...)中x^n的系数了
1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 const int MOD=1e9+7; 4 int n,k; 5 int dp[100005]; 6 void init() 7 { 8 dp[0]=1; 9 for(int i=1;i<=100000;i++) 10 { 11 for(int j=1,r=1;i-(3*j*j-j)/2>=0;j++,r*=-1) 12 { 13 dp[i]+=dp[i-(3*j*j-j)/2]*r; 14 dp[i]%=MOD; 15 dp[i]=(dp[i]+MOD)%MOD; 16 if(i-(3*j*j+j)/2>=0) 17 { 18 dp[i]+=dp[i-(3*j*j+j)/2]*r; 19 dp[i]%=MOD; 20 dp[i]=(dp[i]+MOD)%MOD; 21 } 22 } 23 } 24 } 25 int solve(int n,int k) 26 { 27 int ans=dp[n]; 28 for(int j=1,r=-1;n-k*(3*j*j-j)/2>=0;j++,r*=-1) 29 { 30 ans+=dp[n-k*(3*j*j-j)/2]*r; 31 ans%=MOD; 32 ans=(ans+MOD)%MOD; 33 if(n-k*(3*j*j+j)/2>=0) 34 { 35 ans+=dp[n-k*(3*j*j+j)/2]*r; 36 ans%=MOD; 37 ans=(ans+MOD)%MOD; 38 } 39 } 40 return ans; 41 } 42 int main() 43 { 44 init(); 45 int T; 46 scanf("%d",&T); 47 while(T--) 48 { 49 scanf("%d%d",&n,&k); 50 printf("%d ",solve(n,k)); 51 } 52 return 0; 53 }