具体解释协方差与协方差矩阵

协方差的定义

 

对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就能够计算出来了，但真给你一个详细数值的分布，要计算协方差矩阵，依据这个公式来计算，还真不easy反应过来。网上值得參考的资料也不多，这里用一个样例说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。

记住，X、Y是一个列向量，它表示了每种情况下每一个样本可能出现的数。比方给定

则X表示x轴可能出现的数，Y表示y轴可能出现的。注意这里是关键，给定了4个样本，每一个样本都是二维的，所以仅仅可能有X和Y两种维度。所以

 

用中文来描写叙述，就是：

协方差(i,j)=（第i列的全部元素-第i列的均值）*（第j列的全部元素-第j列的均值）

这里仅仅有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，以下分别求出每个元素：

       所以，依照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为：

 

    

用matlab计算这个样例

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans =

    2.9167   -0.3333

   -0.3333    4.0000

能够看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：

    协方差(i,j)=（第i列全部元素-第i列均值）*（第j列全部元素-第j列均值）/（样本数-1）

       以下在给出一个4维3样本的实例，注意4维样本与符号X,Y就没有关系了，X,Y表示两维的，4维就直接套用计算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。

 

 

 

   

                

        （3）与matlab计算验证

                     Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

                     cov(Z)

                     ans =

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                         -1.0000   -1.0000    1.3333    0.6667

                          -1.0000   -1.0000    0.6667    1.3333

       可知该计算方法是正确的。我们还能够看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。參考2中还给出了计算协方差矩阵的源码，很简洁易懂，在此感谢一下!

 

參考：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html