数论四大定理

威尔逊定理

概念

p可整除(p-1)!+1是p为质数的充要条件

 

欧拉定理

概念

欧拉定理，也称费马-欧拉定理。

若n,a为正整数，且n,a互素，即  gcd(a,n) = 1，则  a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

 

扩展欧拉定理

概念

 

费马小定理

概念

若 n 是质数，a%n !=0，则   a^(n-1) ≡1（mod n）;

　　　　　　a%n ==0，则   a^(n-1) ≡0（mod n)

若 n 是质数，gcd(a,n) =1，a^φ(n) =n-1，则 a^(n-1)≡0（mod n)

 

 孙子定理

概念

• 模数互质时

求满足 n%A=a && n%B=b 的数

则 n = ( k1*B*a + k2*A*b )% lcm( A,B ) + m * lcm( A,B );　　// k1*B%A = k2*A%B = 1;

此时，显然可得，n%A=a && n%B=b ;

 

推广一下：

设 Gi=∏(A...) /Ai;

n = ∑(ki*Gi*gi) %lcm(A...) +m*lcm(A...);　　//Gi*gi%Ai = 1;

 

 

•  模数不互质时（扩展孙子定理）

求满足 n%A=a && n%B=b 的最小正整数

则 k1*A+a=k2*B+b

即 k1*A-k2*B=b-a

可用扩展欧几里得求得 k1、k2

进而求得前两个方程的  特解 x0=k1*A+a（注意正负号）,  通解 x=x0+k*lcm(A, B) 

方程数大于2时，可以顺推，执行同样的过程。

 

 

 

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附：三大定理的证明（定理的引用参考《初等数论及其应用》）

作者：synapse7
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

 

一、威尔逊定理

(PS:在利用定理4.10时，仅需用到a^-1的存在性；证明中的“只有”二字要用定理4.11中的“唯一性”)

 

二、欧拉定理

证明前，我们先定义一个概念：

 

三、费马小定理

重申一遍，gcd(a,p)=1