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  • 概率生成函数初探

    前言

    一个挺早就知晓其存在的诡异科技,只不过当时遇到它的题目是用其他的做法搞过去的。

    这次好好研读了一下杨懋龙神仙的论文《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》,还是有不少收获的。(尽管看了一半就看不下去了

    基本定义

    假设存在一个离散随机变量(X)满足(P(X=i)=a_i),那么它的概率生成函数就应该是:

    [F(x)=sum_{i=0}^{+infty}P(X=i)x^i ]

    定义看起来很简单,更重要的是它的几个性质。

    重要性质

    性质一

    (X)作为一个离散随机变量,显然它生成所有数的概率总和应当是(1),也就是说:

    [F(1)=sum_{i=0}^{+infty}P(X=i)=1 ]

    性质二

    我们对于(F(x))求导,得到:

    [F'(x)=sum_{i=0}^{+infty}iP(X=i)x^{i-1} ]

    然后再代入(x=1),得到:

    [F'(1)=sum_{i=0}^{+infty}iP(X=i) ]

    发现这玩意恰好是(X)的期望值!

    也就是说:

    [E(X)=F'(1) ]

    性质三

    我们继续对这个式子求导,可以发现:

    [E(X^{underline{k}})=F^{(k)}(1) ]

    性质四

    对于方差有这样一个公式:

    [Var(X)=E((X-E(X)))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-E(X)^2 ]

    考虑(E(X^2)),它可以这样表示:

    [E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=E(X^{underline{2}})+E(X)=F''(1)+F'(1) ]

    所以把这个式子代回原式,得到:

    [Var(x)=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2 ]

    例题

    讲完这些性质概率生成函数也就告一段落了,接下来就是例题。

    这里就先列出一道吧:【洛谷4548】[CTSC2006] 歌唱王国(概率生成函数)

    败得义无反顾,弱得一无是处
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/PGF.html
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