一些二项式系数的推导

1 : (sum_{i=0}^k{inom{n}{i}inom{m}{k-i}}=inom{n+m}{k})

从意义上理解即可，也就是从数量为(n)和(m)的两个堆中一共选择(k)个物品

这两个堆在实际意义上也可以不存在。

2 : (sum_{i=1}^{n}{inom{n}{i}inom{n}{i-1}}=inom{2n}{n-1})

证明 :

设(k=n-1)则由1得 :

(sum_{i=0}^{n-1}{inom{n}{i}inom{n}{n-1-i}}=sum_{i=0}^{n-1}{inom{n}{i}inom{n}{i+1}}=sum_{i=1}^{n}inom{n}{i}inom{n}{i-1})

(sum_{i=0}^{n-1}{inom{n}{i}inom{n}{n-1-i}}=inom{2n}{n-1}Rightarrowsum_{i=1}^{n}inom{n}{i}inom{n}{i-1}=inom{2n}{n-1})

证毕。

或者是

(inom{2n}{n-1}=sum_{i=0}^{n}{inom{n}{i}inom{n}{n-1-i}}=sum_{i=0}^{n}{inom{n}{i}inom{n}{i+1}}=sum_{i=1}^{n}inom{n}{i}inom{n}{i-1})

其他的一些 :

(sum_{i=0}^{n}{inom{n}{i}^2}=sum_{i=0}^{n}{inom{n}{i}inom{n}{n-i}}=inom{2n}{n})

(sum_{i=0}^m{inom{n}{i}inom{m}{i}}=sum_{i=0}^minom{n}{i}inom{m}{m-i}=inom{n+m}{m})

。

例题：

(href{https://loj.ac/problem/2023}{[AHOI/HNOI2017]抛硬币})

其他的一些二项式系数推导的积累：

[sum_{k=1}^nk^2inom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2} ]

过程：(k^2)转下降幂后暴力展开组合数即可

[sum_{k=1}^nkinom{n}{k}^2=ninom{2n-1}{n-1} ]

过程：

[kinom{n}{k}=ninom{n-1}{k-1}=ninom{n-1}{n-k} ]

范德蒙德卷积即可。

假设第二类斯特林数强制让每个盒子至少有i个元素定义为(S_i(n,k))，

那么有

[S_i(n,k)= inom{n-1}{i-1}S_i(n-i,k-1)+kS_i(n-1,k) ]

证明：因为是最后一个球，所以是确定的，只有剩下(i-1)个球不确定，需要钦点

对于(m^n)，有

[m^n=sum_{k=0}^minom{m}{k}k!S(n,k)=sum_{k=0}^mm^{underline k}S(n,k) ]

证明：考虑给盒子标号且放弃非空限制

如果(n)固定，设(f(k)=k!S(n.k))，(g(m)=m^n)，那么就有

[g(m)=sum_{k=0}^minom{m}{k}f(k) ]

直接二项式反演，得到：

[egin{aligned} f(m)&=sum_{k=0}^m(-1)^{m-i}inom{m}{i}g(i)\ &=sum_{k=0}^m(-1)^{m-i}inom{m}{i}i^n=m!S(n,m) end{aligned} ]

设第一类斯特林数为(s(n,k))，有

[s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k) ]

好像找不到显式表示

[inom{n}{i}inom{n-i}{j-i}\ egin{aligned} &=frac{n^{underline i}}{i!}frac{{(n-i+1)}^{underline {j-i}}}{(j-i)!}\ &=frac{n^{underline i}}{i!}frac{{(n-i+1)}^{underline {j-i}}}{(j-i)!}frac{j^{underline i}}{j^{underline i}}\ &=frac{n^{underline j}}{j!}frac{j^{underline i}}{i!}\ &=inom{n}{j}inom{j}{i} end{aligned} ]

这个是不是看起来很眼熟？二项式反演不管是代入验证或者正向推导都要用到。

还有一些，这些基本全是基于范德蒙德卷积的。

[inom{n}{k}inom{k}{j} = inom{n}{j}inom{n - j}{k - j} \ sum_k(-1)^kinom{n-k}{m-k}inom{n}{k}=0 \ sum_kinom{n-k}{n-m}inom{n}{k}=2^minom{n}{m} \ sum_{k=0}^ninom{n+k}{n}2^{-k}=2^n \ sum_jinom{k}{j}inom{l}{j}inom{n+k+l-j}{k+l}=inom{n+k}{k}inom{n+l}{l} \ sum_kinom{n}{k + j}inom{m}{k}=inom{m+n}{m+j} ]

基本全部手玩一下就可以搞出来，不给证明了。