【BZOJ5339】[TJOI2018]教科书般的亵渎（斯特林数）
题面
题解
显然交亵渎的次数是(m+1)。
那么这题的本质就是让你求(sum_{i=1}^n i^{m+1})，中间再减掉几项直接暴力就行了。
所以只要考虑求这个东西。
比如说斯特林数？
[m^n=sum_{i=0}^{n}{mchoose i}i!egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}
]
那么
[egin{aligned}
sum_{i=1}^n i^m&=sum_{i=1}^nsum_{j=0}^m {ichoose j}j!egin{Bmatrix}m\jend{Bmatrix}\
&=sum_{j=0}^m j!egin{Bmatrix}m\jend{Bmatrix}sum_{i=1}^n{ichoose j}\
&=sum_{j=0}^m j!egin{Bmatrix}m\jend{Bmatrix}{n+1choose j+1}\
&=sum_{j=0}^m egin{Bmatrix}m\jend{Bmatrix}frac{(n+1)^{underline {j+1}}}{j+1}
end{aligned}]
这样子可以做到(O(m^2))。
斯特林数直接(O(m^2))暴力预处理即可。
讲个笑话，这题我long long都没开就过了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define ll long long
inline ll read()
{
ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int S[60][60];
int Calc(int n,int m)
{
int ret=0;n+=1;
for(int j=0;j<=m;++j)
{
int s=1;for(int k=0;k<=j;++k)s=1ll*s*(n-k+MOD)%MOD;
ret=(ret+1ll*S[m][j]*s%MOD*fpow(j+1,MOD-2))%MOD;
}
return ret;
}
ll n,a[55];int m;
int main()
{
S[0][0]=1;
for(int i=1;i<=55;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
S[i][j]=(1ll*S[i-1][j]*j+S[i-1][j-1])%MOD;
int T=read();
while(T--)
{
n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i)a[i]=read();
sort(&a[1],&a[m+1]);int ans=0;
for(int i=0;i<=m;++i)
{
ans=(ans+Calc((n-a[i])%MOD,m+1))%MOD;
for(int j=i+1;j<=m;++j)ans=(ans+MOD-fpow((a[j]-a[i])%MOD,m+1))%MOD;
}
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}