【HDU4652】Dice（数学期望，动态规划）
题面
Vjudge
有一个(m)面骰子
询问，连续出现(n)个相同的时候停止的期望
连续出现(n)个不同的时候停止的期望
题解
考虑两种分开询问来算。
第一种：
设(f[i])表示已经有连续的(i)个相同时，到达目标状态的期望。
[f[i]=frac{1}{m}f[i+1]+frac{m-1}{m}f[1]+1
]
相邻两项作差，得到
[m(f[i+1]-f[i])=f[i+2]-f[i+1]
]
按照顺序列出来
(f[0]-f[1]=1)
(f[1]-f[2]=m)
(f[2]-f[3]=m^2)
...
(f[n-1]-f[n]=m^{n-1})
将所有式子相加起来
(f[0]-f[n]=frac{m^n-1}{1-m})
(f[n]=0)，这样就知道了(f[0])
所以
[Ans=f[0]=frac{m^n-1}{1-m}
]
考虑第二种询问
设(f[i])表示连续(i)个不同的数字，到达目标状态的期望
[f[i]=frac{m-i}{m}f[i+1]+frac{f[1]+f[2]+f[3]+...f[i-1]+f[i]}{m}
]
还是相邻两项作差让后相加，算出答案
[Ans=sum_{i=0}^{n-1}prod_{j=0}^{i}frac{m}{m-j}
]
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double Solve1(int m,int n){return (pow(m,n)-1.0)/(m-1.0);}
double Solve2(int m,int n)
{
double ret=1,d=1;
for(register int j=1;j<n;++j)d=1.0*m/(m-j)*d,ret+=d;
return ret;
}
int main()
{
register int T,opt,n,m;
while(scanf("%d",&T)!=EOF)while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&opt,&m,&n);
printf("%.9lf
",!opt?Solve1(m,n):Solve2(m,n));
}
}