Solution [COCI2008-2009#4] F
题目大意：给定一个 (n) 列的表格，每一列有 (a_i) 行，底部对齐。往里面填入 (k) 个数字，要求每一列最多只有一个数字，每一行一段内最多只有一个数字（中间断开了不算），求方案数。
笛卡尔树，dp，计数
分析：
最大子矩形可以用笛卡尔树来做，此题每一段中间断开的特性,和小根笛卡尔树构造方法也十分相似（每次我们找到最低的一列分开原表格）。
我们将原表格建出一个小根笛卡尔树，那么笛卡尔树的每一个节点都代表了一个子矩形（具体可以看一下其他题解，这里就不重复放图了）
我们设 (w(u,a,b))，表示在 (u) 这个节点所在子矩形内部，放 (a) 个数，其中 (u) 的子树选了 (b) 个的方案数。
那么这个子矩形的宽 (n=v[u]-v[faz[u]])，这个子矩形的长（是实际可以选的列数） (m=siz[u]-b)
其中选 (k) 个行列互不相同的数，方案数为 (inom{n}{k}inom{m}{k}k!)（相当于行列中任选 (k) 个出来，再任意组合）
然后直接两个子树的方案数卷一下，再和 (w) 卷一下就可以了
注意合并的时候要用 (siz) 优化，确保每一对节点只会在 (lca) 处被合并（貌似和 (w) 卷的时候并不能优化）
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#pragma GCC optmize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int maxn = 512,inf = 0x7fffffff,mod = 1e9 + 7;
struct IO{//-std=c++11,with cstdio and cctype
private:
static constexpr int ibufsiz = 1 << 20;
char ibuf[ibufsiz + 1],*inow = ibuf,*ied = ibuf;
static constexpr int obufsiz = 1 << 20;
char obuf[obufsiz + 1],*onow = obuf;
const char *oed = obuf + obufsiz;
public:
inline char getchar(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
return ::getchar();
#else
if(inow == ied){
ied = ibuf + sizeof(char) * fread(ibuf,sizeof(char),ibufsiz,stdin);
*ied = ' ';
inow = ibuf;
}
return *inow++;
#endif
}
template<typename T>
inline void read(T &x){
static bool flg;flg = 0;
x = 0;char c = getchar();
while(!isdigit(c))flg = c == '-' ? 1 : flg,c = getchar();
while(isdigit(c))x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
if(flg)x = -x;
}
template <typename T,typename ...Y>
inline void read(T &x,Y&... X){read(x);read(X...);}
inline int readi(){static int res;read(res);return res;}
inline long long readll(){static long long res;read(res);return res;}
inline void flush(){
fwrite(obuf,sizeof(char),onow - obuf,stdout);
fflush(stdout);
onow = obuf;
}
inline void putchar(char c){
#ifndef ONLINE_JUDGE
::putchar(c);
#else
*onow++ = c;
if(onow == oed){
fwrite(obuf,sizeof(char),obufsiz,stdout);
onow = obuf;
}
#endif
}
template <typename T>
inline void write(T x,char split = ' '){
static unsigned char buf[64];
if(x < 0)putchar('-'),x = -x;
int p = 0;
do{
buf[++p] = x % 10;
x /= 10;
}while(x);
for(int i = p;i >= 1;i--)putchar(buf[i] + '0');
if(split != ' ')putchar(split);
}
inline void lf(){putchar('
');}
~IO(){
fwrite(obuf,sizeof(char),onow - obuf,stdout);
}
}io;
template <typename A,typename B>
inline void chkmin(A &x,const B &y){if(y < x)x = y;}
template <typename A,typename B>
inline void chkmax(A &x,const B &y){if(y > x)x = y;}
inline int add(const int a,const int b){return (a + b) % mod;}
inline int mul(const int a,const int b){return (1ll * a * b) % mod;}
inline int qpow(int base,int b){
int res = 1;
while(b){
if(b & 1)res = mul(res,base);
base = mul(base,base);
b >>= 1;
}
return res;
}
inline int inv(const int x){return qpow(x,mod - 2);}
inline int calc(const int a,const int b){return mul(a,inv(b));}
int fac[int(1e6 + 100)];
inline int C(const int n,const int m){
return m > n ? 0 : mul(fac[n],mul(inv(fac[m]),inv(fac[n - m])));
}
inline void init(){
fac[0] = 1;
for(int i = 1;i < (1e6 + 100);i++)fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
}
int tmp[maxn],faz[maxn],val[maxn],stk[maxn],siz[maxn],ls[maxn],rs[maxn],f[maxn][maxn],top,k,n;
inline int w(const int u,const int a,const int b){
const int n = val[u] - val[faz[u]],m = siz[u] - b;
return mul(mul(C(n,a),C(m,a)),fac[a]);
}
inline void dp(int u){
siz[u] = 1;
if(ls[u])faz[ls[u]] = u,dp(ls[u]);
if(rs[u])faz[rs[u]] = u,dp(rs[u]);
siz[u] += siz[ls[u]];
siz[u] += siz[rs[u]];
memset(tmp,0,sizeof(tmp));
for(int i = 0;i <= siz[ls[u]];i++)
for(int j = 0;j <= siz[rs[u]];j++)
if(i + j <= k)tmp[i + j] = add(tmp[i + j],mul(f[ls[u]][i],f[rs[u]][j]));
tmp[0] = 1;
for(int i = 0;i <= siz[u];i++)
for(int j = 0;i + j <= siz[u];j++)
if(i + j <= k)f[u][i + j] = add(f[u][i + j],mul(tmp[i],w(u,j,i)));
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("fafa.in","r",stdin);
#endif
init();
io.read(n,k);
for(int i = 1;i <= n;i++)io.read(val[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++){
int k = top;
while(k && val[i] <= val[stk[k]])k--;
if(k)rs[stk[k]] = i;
if(k < top)ls[i] = stk[k + 1];
stk[++k] = i;
top = k;
}
int rt = stk[1];
f[0][0] = 1;
dp(rt);
io.write(f[rt][k],'
');
return 0;
}