理解先验概率 后验概率 似然函数

理解一下这些基础知识

先验概率（prior probability）

是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为 "由因求果" 问题中的 "因" 出现的概率。

在贝叶斯统计中，先验概率分布，即关于某个变量 X 的概率分布，是在获得某些信息或者依据前，对 X 之不确定性所进行的猜测。这是对不确定性（而不是随机性）赋予一个量化的数值的表征，这个量化数值可以是一个参数，或者是一个潜在的变量。

先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断。例如， X 可以是投一枚硬币，正面朝上的概率，显然在我们未获得任何其他信息的条件下，我们会认为 P(X)=0.5；再比如上面例子中的，P(G)=0.4。

后验概率(Posterior probability)

后验概率是指在得到 “结果” 的信息后重新修正的概率，是 “执果寻因” 问题中的 "果"。

事情还没有发生，要求这件事情发生的可能性的大小，是先验概率。事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小，是后验概率。

后验概率是关于随机事件或者不确定性断言的条件概率，是在相关证据或者背景给定并纳入考虑之后的条件概率。后验概率分布就是未知量作为随机变量的概率分布，并且是在基于实验或者调查所获得的信息上的条件分布。“后验” 在这里意思是，考虑相关事件已经被检视并且能够得到一些信息。

后验概率是关于参数 θ 在给定的证据信息 X 下的概率，即 P(θ|X) 。若对比后验概率和似然函数，似然函数是在给定参数下的证据信息 X 的概率分布，即 P(X|θ) 。

　　我们用 P(θ) 表示概率分布函数，用 P(X|θ) 表示观测值 X 的似然函数。后验概率定义为 P(θ|X)=P(X|θ)P(θ) / P(X)，注意这也是贝叶斯定理所揭示的内容。

 举个例子：

比如，你刚去北京的时候，查了下北京历年来的天气情况，北京下雨的概率是多少，你就经验性的给了一个。这就是先验。
等你今天要出门的时候，你发现下雨了，于是你开始想，下雨前，有没有打雷尼？你开始猜测有多大的可能性打雷了，既然已经有了下雨的结果，对一些征兆发生的可能性做预测，这就是似然概率。
等下了班回去，你发现居然又打雷了，你开始想会不会下雨啊，于是根据观察数据，预测结果的概率，也就是后验。

似然函数likelihood (function)

区别：

先看似然函数的定义，它是给定联合样本值下关于 (未知) 参数 的函数：

这里的小是指联合样本随机变量取到的值，即；这里的是指未知参数，它属于参数空间；

这里的是一个密度函数，特别地，它表示 (给定)下关于联合样本值的联合密度函数。 

所以从定义上，似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象：前者是关于的函数，后者是关于的函数。所以这里的等号 理解为函数值形式的相等，而不是两个函数本身是同一函数 (根据函数相等的定义，函数相等当且仅当定义域相等并且对应关系相等)。

联系：

如果是离散的随机向量，那么其概率密度函数可改写为，即代表了在参数下随机向量取到值的可能性；并且，如果我们发现

那么似然函数就反应出这样一个朴素推测：在参数下随机向量取到值的可能性大于 在参数下随机向量取到值的可能性。换句话说，我们更有理由相信 (相对于来说) 更有可能是真实值。这里的可能性由概率来刻画。

连续情况也差不多，如果是连续的随机向量，那么其密度函数本身（如果在连续的话）在处的概率为 0，为了方便考虑一维情况：给定一个充分小，那么随机变量取值在区间内的概率即为

并且两个未知参数的情况下做比就能约掉，所以和离散情况下的理解一致，只是此时似然所表达的那种可能性和概率无关。

综上，概率 (密度) 表达给定下样本随机向量的可能性，而似然表达了给定样本下参数(相对于另外的参数) 为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率。

最后我们再回到这个表达。首先我们严格记号，竖线表示条件概率或者条件分布，分号表示把参数隔开。所以这个式子的严格书写方式是因为在右端只当作参数理解。

L(θ|x)=f(x|θ)
这个等式表示的是对于事件发生的两种角度的看法。其实等式两边都是表示的这个事件发生的概率或者说可能性。

再给定一个样本 x 后，我们去想这个样本出现的可能性到底是多大。统计学的观点始终是认为样本的出现是基于一个分布的。那么我们去假设这个分布为 f，里面有参数 theta。对于不同的 theta，样本的分布不一样。

f(x|θ) 表示的就是在给定参数 theta 的情况下，x 出现的可能性多大。L(θ|x) 表示的是在给定样本 x 的时候，哪个参数 theta 使得 x 出现的可能性多大。

所以其实这个等式要表示的核心意思都是在给一个 theta 和一个样本 x 的时候，整个事件发生的可能性多大。

参考   如何理解似然函数?