CF1402C 「CEOI2020」Star Trek
约定：假设从第(i)棵树的节点(a)，连向了第(i+1)棵树的节点(b)，则我们认为第(i+1)棵树是以(b)为根的。
考虑一个DP。设(dp[i])表示依次连接了(i)棵树，【从第一棵树的根节点出发，先手必胜】的方案数。注意，第一棵树的根节点可以是任意一个节点（只有在求答案时，才强制要求第一棵树的根节点是(1)，我们在定义状态时不考虑这个）。也就是说，(dp[i])，是把第一棵树根节点为(1dots n)的方案数加起来。
转移时考虑在前面添加一棵树。
朴素的转移，我们枚举添加的这棵树的根( ext{root})。此时需要做一些分类讨论：
- 单独考虑一棵树，以( ext{root})为根时，是否是先手必胜的。如果是先手必胜的，此时我们要求连出去的边不能改变根节点( ext{root})的胜负状态。具体来说，枚举树里每一个节点(u)，考虑从(u)连出去：
- 如果改变(u)的胜负性后，不会影响到根节点( ext{root})的胜负性。那么后面(i-1)棵树的连边方案可以任意。方案数是(n imes n^{2(i-1)})。其中(n)表示给后面的第一棵树定一个根节点，(n^{2(i-1)})表示其他树之间任意连边。
- 如果改变(u)的胜负性后，会影响到根节点( ext{root})的胜负性：
- 如果(u)的子树是先手必胜的。那么随便连一条边，当走到(u)时，先手无论如何不会走向这条边。所以也可以任意连边，方案数是(n imes n^{2(i-1)})。
- 如果(u)的子树是先手必败的。则我们连出去的边必须必胜。因为如果连向了一个必败状态，则走到(u)时，先手就一定就会走我们新连的这条边，于是就改变了(u)的胜负性，进而改变了根的胜负性。因此，连边只能连向必胜，方案数是(dp[i-1])。
- 单独考虑一棵树，以( ext{root})为根时，如果不是先手必胜（也就是后手必胜），此时我们要求连出去的边必须改变根节点的胜负状态。具体来说，枚举树里每一个节点(u)，考虑从(u)连出去：
- 如果改变(u)的胜负性后，不会影响到根节点( ext{root})的胜负性。那一定不符合我们的要求。所以从(u)节点连出去的方案数是(0)。
- 如果改变(u)的胜负性后，会影响到根节点( ext{root})的胜负性：
- 如果(u)的子树是先手必胜的。那么我们无论怎么连边，走到(u)时先手都不会走我们连出去的边。所以不可能改变(u)的胜负性，进而不可能改变根的胜负性。所以方案数还是(0)。
- 如果(u)的子树是先手必败的。那么我们连向一个必败点，就能改变(u)的胜负性。所以连边方案数是(n imes n^{2(i-1)}-dp[i-1])。
通过上述的分类讨论，我们发现，确定根后，只需要知道每个节点(u)的两个信息：
- 点(u)的子树，是否是先手必胜的。
- 点(u)胜负性改变，是否会影响根的胜负性。
具体来说，只需要知道，对每个根来说，两种信息(2 imes2)共(4)类点的数量分别是多少，就能计算出DP的转移系数。然后用矩阵快速幂优化DP。
首先，可以枚举根，各做一次树形DP，求出这两个信息。时间复杂度(O(n^2))。具体来说：
- 点(u)的子树是否先手必胜。这个只需要看儿子里，有没有先手必败的点即可。只要存在先手必败的儿子，则点(u)就是先手必胜的，否则是先手必败的。
- 点(u)的胜负性改变，能否影响到根。这个要满足两个条件：
- 首先，点(u)的父亲，必须能影响根。
- 其次，点(u)的所有兄弟里（它父亲除了(u)以外的儿子），必须没有必败点。也就是说，要么点(u)父亲的儿子里压根没有必败点；要么恰好有一个必败点且这个点就是(u)。
这两个DP都比较简单。假设求出的两个信息，分别为(f_{ ext{root}}(u),g_{ ext{root}}(u))（(f_{ ext{root}}(u),g_{ ext{root}}(u)in{0,1})）。那相当于对每个( ext{root})，求出一个：
[ ext{cnt}[ ext{root}][xin{0,1}][yin{0,1}]=sum_{i=1}^{n}[f_{ ext{root}}(i)=x] imes[g_{ ext{root}}(i)=y]
]
假设有了这个( ext{cnt})数组，我们就很容易求出系数，然后进行上述的DP并用矩阵快速幂优化了。
先对(1)，求出( ext{cnt}[1][x][y])，然后换根。换根的时候非常复杂，需要进行大量的讨论。具体来说，要预处理出一个(s(u))表示只考虑（以(1)为根时）点(u)的子树，子树里有多少(g_{1}(i)=1)的点。换句话说，就是不考虑(u)的父亲了，强制点(g(u)=1)。这个(s)在换根时，有很大的用处。
其他细节，留给读者自行讨论。实在讨论不出来可以看看参考代码。不过看到这么长的代码，你估计宁愿自己讨论......。
时间复杂度(O(n+log d))。
参考代码：
//problem:C
//CEOI2020 D1T3
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}
const int MAXN=1e5;
const int MOD=1e9+7;
inline int mod1(int x){return x<MOD?x:x-MOD;}
inline int mod2(int x){return x<0?x+MOD:x;}
inline void add(int& x,int y){x=mod1(x+y);}
inline void sub(int& x,int y){x=mod2(x-y);}
inline int pow_mod(int x,int i){int y=1;while(i){if(i&1)y=(ll)y*x%MOD;x=(ll)x*x%MOD;i>>=1;}return y;}
int n;
ll D;
vector<int>G[MAXN+5];
int root_f[MAXN+5],subt_f[MAXN+5],subt_cnt_0[MAXN+5],root_cnt_0[MAXN+5];
void dfs1(int u,int fa){
subt_f[u]=0; // 先手必败
subt_cnt_0[u]=0;
for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs1(v,u);
if(subt_f[v]==0){
subt_f[u]=1;
subt_cnt_0[u]++;
}
}
}
int root_aff[MAXN+5][2],subt_aff[MAXN+5][2];
int sum[MAXN+5][2],sum_0[MAXN+5][2];
void dfs2(int u,int fa){
root_aff[u][0]=root_aff[u][1]=0;
root_aff[u][subt_f[u]]=1;
for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs2(v,u);
if(subt_cnt_0[u] - (subt_f[v]==0) == 0){
root_aff[u][0]+=root_aff[v][0];
root_aff[u][1]+=root_aff[v][1];
}
sum[u][0]+=subt_aff[v][0];
sum[u][1]+=subt_aff[v][1];
if(subt_f[v]==0){
sum_0[u][0]+=subt_aff[v][0];
sum_0[u][1]+=subt_aff[v][1];
}
}
subt_aff[u][0]=root_aff[u][0];
subt_aff[u][1]=root_aff[u][1];
}
int aff[MAXN+5];// 每个点的subt_f值改变,对根的f值是否有影响
void dfs3(int u,int fa){
if(!aff[u]) return;
if(subt_cnt_0[u]>1) return;
for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
if(subt_cnt_0[u] - (subt_f[v]==0) == 0){
aff[v]=1; // 除v以外都是0
}
else{
aff[v]=0;
continue;
}
dfs3(v,u);
}
}
int cnt[MAXN+5][2][2];
int tmp[2],tmp_subt_cnt_aff_1[2];
void dfs_changeRoot(int u,int fa,bool aff_clear){
if(root_cnt_0[fa] - (subt_f[u]==0) == 0){
aff[u]=1;
}
if(aff_clear){
aff[u]=0;
}
//cerr<<"---------------- "<<u<<" --------------------"<<endl;
int ff=0;
if(fa){
// 求以u为根时的胜负情况 root_f[u]
ff=root_f[fa];
if(root_cnt_0[fa]==1 && subt_f[u]==0){
assert(ff==1);
ff=0;
}
root_cnt_0[u]=subt_cnt_0[u]+(ff==0);
root_f[u]=(root_cnt_0[u]>0);
// 以u为根时,重新求root_aff
sum[fa][0]-=subt_aff[u][0];
sum[fa][1]-=subt_aff[u][1];
if(subt_f[u]==0){
sum_0[fa][0]-=subt_aff[u][0];
sum_0[fa][1]-=subt_aff[u][1];
}
tmp[0]=root_aff[fa][0];
tmp[1]=root_aff[fa][1];
if(root_cnt_0[fa] - (subt_f[u]==0) == 0){
tmp[0]-=root_aff[u][0];
tmp[1]-=root_aff[u][1];
}
tmp[root_f[fa]]--;
tmp[ff]++;
if(subt_f[u]==0){
if(root_cnt_0[fa]==1){
tmp[0]+=sum[fa][0];
tmp[1]+=sum[fa][1];
}
if(root_cnt_0[fa]==2){
tmp[0]+=sum_0[fa][0];
tmp[1]+=sum_0[fa][1];
}
}
root_aff[u][0]=root_aff[u][1]=0;
root_aff[u][root_f[u]]=1;
if(root_cnt_0[u] - (ff==0) == 0){
root_aff[u][0]+=tmp[0];
root_aff[u][1]+=tmp[1];
}
for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
if(root_cnt_0[u] - (subt_f[v]==0) == 0){
root_aff[u][0]+=root_aff[v][0];
root_aff[u][1]+=root_aff[v][1];
}
}
// 求以u为根时,整棵树里aff和f为0/1的数量 cnt[u][0/1][0/1]
// 先继承fa的
for(int i=0;i<=1;++i)for(int j=0;j<=1;++j)cnt[u][i][j]=cnt[fa][i][j];
// 分三个部分
// 1. u节点本身
// 2. u原本的子树
// 3. fa变成u的儿子后新产生的子树
// part1
cnt[u][aff[u]][subt_f[u]]--;
cnt[u][1][root_f[u]]++;
// part2
int oaff=aff[u];
if(!aff[u]){
if(ff){
// fa变成儿子后,对u的子树无影响
// 但aff[u]变成了1后,子树会产生连锁反应
aff_clear=0;
aff[u]=1;
subt_aff[u][subt_f[u]]--;
cnt[u][0][0]-=subt_aff[u][0];
cnt[u][1][0]+=subt_aff[u][0];
cnt[u][0][1]-=subt_aff[u][1];
cnt[u][1][1]+=subt_aff[u][1];
subt_aff[u][subt_f[u]]++;
}
else{
// 受到fa的影响, u的子树里(不含u)仍然没有aff=1的点, 所以cnt不变
aff[u]=1;
}
}
else{
if(!ff){
// 受到fa的影响, u子树里一些原本aff=1的点(不含u), 现在全部变成aff=0
aff_clear=1;
subt_aff[u][subt_f[u]]--;
cnt[u][1][0]-=subt_aff[u][0];
cnt[u][0][0]+=subt_aff[u][0];
cnt[u][1][1]-=subt_aff[u][1];
cnt[u][0][1]+=subt_aff[u][1];
subt_aff[u][subt_f[u]]++;
}
}
// part3
assert(aff[fa]==1);
if(subt_cnt_0[u]==0){
// fa变成儿子后,aff还是1
cnt[u][1][root_f[fa]]--;
cnt[u][1][ff]++;
if(subt_f[u]==0){
// fa的其它儿子(u原来的兄弟,aff从0变成1)
if(root_cnt_0[fa]==1){
cnt[u][0][0]-=sum[fa][0];
cnt[u][1][0]+=sum[fa][0];
cnt[u][0][1]-=sum[fa][1];
cnt[u][1][1]+=sum[fa][1];
}
if(root_cnt_0[fa]==2){
cnt[u][0][0]-=sum_0[fa][0];
cnt[u][1][0]+=sum_0[fa][0];
cnt[u][0][1]-=sum_0[fa][1];
cnt[u][1][1]+=sum_0[fa][1];
}
}
}
else{
// fa变成儿子后,aff变成0了
cnt[u][1][root_f[fa]]--;
cnt[u][0][ff]++;
cnt[fa][1][root_f[fa]]--;
cnt[fa][1][0]-=oaff*subt_aff[u][0];
cnt[fa][1][1]-=oaff*subt_aff[u][1];
cnt[u][1][0]-=cnt[fa][1][0];
cnt[u][0][0]+=cnt[fa][1][0];
cnt[u][1][1]-=cnt[fa][1][1];
cnt[u][0][1]+=cnt[fa][1][1];
cnt[fa][1][0]+=oaff*subt_aff[u][0];
cnt[fa][1][1]+=oaff*subt_aff[u][1];
cnt[fa][1][root_f[fa]]++;
}
}
//for(int i=0;i<=1;++i)for(int j=0;j<=1;++j)cerr<<"aff "<<i<<" f "<<j<<": "<<cnt[u][i][j]<<endl;
int x=subt_aff[fa][0],y=subt_aff[fa][1],z=subt_f[fa];
if(fa){
subt_aff[fa][0]=tmp[0],subt_aff[fa][1]=tmp[1],subt_f[fa]=ff;
sum[u][0]+=subt_aff[fa][0];
sum[u][1]+=subt_aff[fa][1];
if(ff==0){
sum_0[u][0]+=subt_aff[fa][0];
sum_0[u][1]+=subt_aff[fa][1];
}
}
for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
dfs_changeRoot(v,u,aff_clear);
}
if(fa){
subt_aff[fa][0]=x,subt_aff[fa][1]=y,subt_f[fa]=z;
sum[fa][0]+=subt_aff[u][0];
sum[fa][1]+=subt_aff[u][1];
if(subt_f[u]==0){
sum_0[fa][0]+=subt_aff[u][0];
sum_0[fa][1]+=subt_aff[u][1];
}
}
}
struct Matrix{
int a[2][2];
void identity(){a[0][0]=a[1][1]=1;a[0][1]=a[1][0]=0;}
Matrix(){a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;}
};
Matrix operator*(const Matrix& X,const Matrix& Y){
Matrix Z;
for(int i=0;i<=1;++i)for(int j=0;j<=1;++j)for(int k=0;k<=1;++k)Z.a[i][j]=((ll)Z.a[i][j] + (ll)X.a[i][k]*Y.a[k][j])%MOD;
return Z;
}
Matrix mat_pow(Matrix X,ll i){
Matrix Y;Y.identity();
while(i) { if(i&1LL) Y=Y*X; X=X*X; i>>=1; }
return Y;
}
int main() {
cin>>n>>D;
for(int i=1;i<n;++i){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].pb(v);
G[v].pb(u);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,0);
aff[1]=1;
dfs3(1,0);
//for(int i=1;i<=n;++i)cerr<<aff[i]<<" ";cerr<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i){
cnt[1][aff[i]][subt_f[i]]++;
}
root_f[1]=subt_f[1];
root_cnt_0[1]=subt_cnt_0[1];
dfs_changeRoot(1,0,0);
int trans_coef_f=0,trans_coef_n=0;
int ans_coef_f=0,ans_coef_n=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(root_f[i]){
add(trans_coef_n,cnt[i][0][0]+cnt[i][0][1]+cnt[i][1][1]);
add(trans_coef_f,cnt[i][1][0]);
}
else{
add(trans_coef_n,cnt[i][1][0]);
sub(trans_coef_f,cnt[i][1][0]);
}
if(i==1){
ans_coef_f=trans_coef_f;
ans_coef_n=trans_coef_n;
}
}
/*
static int dp[MAXN+5];
dp[1]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)if(root_f[i]==1)dp[1]++;
int v=n;
for(int i=2;i<=D;++i){
dp[i]=((ll)dp[i-1]*trans_coef_f%MOD + (ll)v*trans_coef_n%MOD)%MOD;
v=(ll)v*n%MOD*n%MOD;
}
int ans=((ll)dp[D]*ans_coef_f%MOD + (ll)v*ans_coef_n%MOD)%MOD;
cout<<ans<<endl;
*/
Matrix res;
res.a[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)if(root_f[i]==1)res.a[0][0]++;
res.a[0][1]=n;
Matrix trans;
trans.a[0][0]=trans_coef_f;
trans.a[1][0]=trans_coef_n;
trans.a[1][1]=(ll)n*n%MOD;
res=res*mat_pow(trans,D-1);
int ans=((ll)res.a[0][0]*ans_coef_f%MOD + (ll)res.a[0][1]*ans_coef_n%MOD)%MOD;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}