之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段作为预热，并以其在有限群下应用来体会这种方法的强大。
1. 类方程
1.1 群的作用
前面提到过，(gG)将(G)中的元素作了一个变换，同样(g(aH))也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群(G)作用到一个集合(X)，结果还是在(X)中。用函数的方法表示这个变换：(g(x))，其中(gin G)，(x,g(x)in X)。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即(g^{-1}(g(x))=x)，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫(G)在(X)上的作用（action）。
[g_1g_2(x)=g_1(g_2(x)),quad e(x)=x ag{1}]
作用的结果可以写成一张表，行为(G)列为(X)，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是(g(x)=x)的情况，其中(g)称为(x)的稳定子（stabilizer），(x)所有的稳定子记作(S_x)，容易证明它是一个子群。(x)称为(g)的不动元素（fixed element），(g)的所有不动元记作(F_g)。对所有(g)都不动的也叫(G)的不动元素，记为(F_G)，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。
先从(G)的方向考察(g(x))，即对于指定的(x)，(g(x))的取值情况。(g(x))的所有取值称为(x)轨道（orbit），记作(O_x)。如果(g(x)=yin O_x)，则有(g^{-1}(y)=xin O_y)。故不同的(O_x)之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是(G)的不动元。
一个自然的问题是，(O_x)中究竟有多少元素？若(g_1,g_2)使得(g_1(x)=g_2(x))，则有(g_1^{-1}g_2(x)=x)，从而(g_1,g_2)同属于(S_x)的一个陪集。这就是说(O_x)中不同元素的个数为([G:S_x])。如果为所有轨道选一个代表(x_1,x_2,cdots,x_n)，则有以下类方程。
[|X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+cdots+[G:S_{x_n}] ag{2}]
另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设(g(x)=y)，将(x=g^{-1}(y))带入(a(x)=x)，则有(gag^{-1}(y)=y)，所以就得到(gS_xg^{-1}=S_y)。这个性质让我们想到正规子群，即对任意(N rianglelefteq G)，可有(Ncap S_x=Ncap S_y)。从而(G)作用下的一个轨道在(N)下有相同的稳定子，即那个轨道在(N)下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果(G)下只有一个轨道，则(N)的每个轨道一样长。
最后再从(X)的方向考察(g(x))，即对于指定的(g)，(g(x))的取值情况。首先若(g(x)=g(y))，则(g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y)))，即有(x=y)，(g)的作用是(X)上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足(g(x)=x)都有元素对((g,x))，有(sum_{gin G}|F_g|=sum_{xin X}|S_x|=sum_{k=1}^{n}|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|)，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。
[n=dfrac{1}{|G|}sum_{gin G}|F_g| ag{3}]
1.2 共轭
不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了(gSg^{-1})的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令(X)是群(G)的所有子集的集合，考察群(G)在(X)上的变换(g(S)=gSg^{-1})。满足(gS_1g^{-1}=S_2)的子集(S_1,S_2)称为共轭的（conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。
首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做共轭类，共轭类中的元素互为共轭。子集(S)的稳定子满足(gSg^{-1}=S)，它也称为(S)的正规化子，记作(N(S))，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和(N(S))的陪集一一对应，每个共轭类中有([G:N(S)])个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。
[N(gSg^{-1})=gN(S)g^{-1} ag{4}]
现在来考虑一些特殊情况。首先，以上(X)中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于(X=G)，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素(F_G)显然就是中心(C)。如果中心元有(c)个，其它等价类(C_k)分别有(c_k)个元素（(k=1,2,cdots,m)），则类方程变成以下形式。
[G=Ccup C_1cup C_2cupcdotscup C_m,quad |G|=c+c_1+c_2+cdots+c_m ag{5}]
其次，还可以把(X)中的元素限定为子群，这就定义了共轭子群。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有(Ssubseteq N(S))，而对于子群(H)不仅有(Hsubseteq N(H))，还有(H rianglelefteq N(H))。从另一个角度看，(N(H))其实是通过缩小(G)来使(H)成为正规子群，(N(H))是(G)中使(H)称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小(H)来得到一个正规子群呢？考察(H)的所有共轭子群之交(K=cap H_k)，可以证明(aH_ka^{-1})任然包含所有(H)的共轭子群，从而恒有(aKa^{-1}=K)，即(K)为正规子群。特别的，如果(H)的指数有限，则(K)的指数也有限。
相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子(N(x))是所有满足(axa^{-1}=x)的元素，即所有与(x)可交换的元素。为此可以定义与子集(S)所有元素可交换的集合，称它为(S)的中心化子，并记做(C(S))。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有：(C(x)=N(x))。
[C(S) rianglelefteq N(S) ag{6}]
思考两个简单的问题（亦可作为结论）：
• 求证：(langle a angle rianglelefteq N(a)leqslant N(langle a angle))；
• 求证：(C(S))是(S)各元素正规化子的交。
关于交错群(A_n)有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当(n eq 4)时，(A_n)都是单群。对(n<4)的场景可以直接验证，你还可以证明（最好使用下段结论）(A_4)有唯一正规子群(K_4)。当(n>4)时，证明比较繁杂，但方法很基础，作为习题比较好，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干(3)-循环之积，并且(A_n)可以由一些(3)-循环生成。其次证明(A_n)对(3)-循环集(X)的作用只有一个轨道，所以(A_n)中包含一个(3)-循环的正规子群只能是(A_n)自身。最后通过分情况讨论，证明(A_n)的正规子群必含有一个(3)-循环，这就证明了(A_n,(n>4))是单群。
1.3 重陪集
元素(g)与左陪集(xK)可以定义作用(g(xK)=gxK)，现在就来看看这个作用有什么结论。记(X)为子群(K)的所有左陪集，考察子群(H)到(X)的作用（选(G)得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成(HxK)，它也称为重陪集。重陪集可以既可以看成是一些(K)的左陪集之并，也可以看成是一些(H)的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。
作用的稳定子满足(hxK=xK)，从而(x^{-1}hxin K)，即(hin xKx^{-1})。稳定子的集合为(Hcap xKx^{-1})，从而轨道内元素的个数是([H:Hcap xKx^{-1}])。结合重陪集的意义和群的作用，就得到(HxK)里(H)的右陪集个数(n_{Hx})和(K)的左陪集个数(n_{xK})分别为以下公式。
[n_{Hx}=[K:Kcap x^{-1}Hx],quad n_{xK}=[H:Hcap xKx^{-1}] ag{7}]
再来看看稳定元素(F_H)，它们对一切(h)满足(hxK=xK)，这就得到(xKx^{-1}=H)，它要求(K,H)首先是共轭的。当(H=K)时，可知(xin N(H))，即(F_H)为(N(H))中(H)的所有陪集，个数为([N(H):H])。
2. 有限群
2.1 p-群和p阶群
对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除(e)外每个元素都是生成元。对于素数幂次(p^s)阶群，它每个子群的阶都是(p)的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫(p)-群。
拉个朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为(pm)的群(G)，它有(p)阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当(m=1)时结论显然，现在假设结论对(pk,k<m)成立。任意找一个非平凡子群(H)，如果(pmid|H|)，则由假设知存在(p)阶子群。如果总有(p mid|H|)，考察类方程（5），有(pmid c_k)，从而中心的阶满足(pmid c)。而中心为正规子群，它的商群(G/N)必有(p)阶子群(bH)，则必定有(pmid |b|)，所以(langle b angle)中有(p)阶元。综合以上就得到了结论：阶为(pm)的群必有有(p)阶子群，该结论也叫柯西定理。
这个结论非常有用，比如由此可以判断(pq)阶交换群必有(p,q)阶子群(langle a angle,langle b angle)，而(langle ab angle)的阶为(pq)，所以它必定是循环群。思考下面的习题：
• 求证(p)-群有中心；
• 求证(p^2)阶群是循环群，另外仅有一个(p)阶子群的(p)-群也是循环群；
• 同构意义下，(4)阶群只有循环群和(K_4)。
2.2 西罗定理
继续刚才的问题，如果(G)的阶为(p^sm,(p mid m))，它是否有(p^k,(kleqslant s))阶子群呢？当(k=0,1)时结论显然成立，假设有(p^k,(k<s))阶子群(H)，考察式（8）的重陪集分解。左侧有(pmid [G:H])，右侧那些重陪集除了(F_H)外都有(pmid [Hx_iH:H])，从而(pmid |F_H|=[N(H):H])。所以有(pmid |N(H)/H|)，故(N(H)/H)有(p)阶子群(K/H)，其中(|K|=p^{k+1})，且(H rianglelefteq K)。这就构造出了(p^{k+1})阶子群，继而可以构造所有(p^i,(0leqslant ileqslant s))阶子群，其中(p^s)阶子群也叫( ext{Sylow}:p)-子群。
[G=Hx_1H:cup:Hx_2H:cupcdotscup:Hx_rH ag{8}]
[G=Hx_1K:cup:Hx_2K:cupcdotscup:Hx_rK ag{9}]
显然每个( ext{Sylow}:p)-子群的共轭也是( ext{Sylow}:p)-子群，反之对两个( ext{Sylow}:p)-子群(K,H)，考察其重陪集分解（9）。因为(p mid [G:H])，而右侧重陪集除(F_H)外都有(pmid [Hx_iK:H])，故有(F_H>1)。即存在(HxK=xK)，这就有(x^{-1}Hx=K)，从而(H,K)共轭。既然所有的( ext{Sylow}:p)-子群是一个共轭子群类，而稳定子为(N(H))，故( ext{Sylow}:p)-子群的个数为(d=[G:N(H)])，首先当然有(dmid|G|)。其次，容易有(pmid [G:H]-[N(H):H])，即(pmid (d-1)[N(H):H])，从而(pmid d-1)。总结这两段的讨论就是重要的西罗定理（(G)的阶为(p^sm,p mid m)）：
（1）西罗第一定理：存在(p^i,(0leqslant ileqslant s))阶子群，且对任意(p^k,(k<s))阶子群(H)都有(p^{k+1})阶子群(K)使得(H rianglelefteq K)；
（2）西罗第二定理：所有( ext{Sylow}:p)-子群共轭；
（3）西罗第三定理：( ext{Sylow}:p)-子群个数(n)满足：(nmid m)且(nequiv 1pmod{p})。
西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果( ext{Sylow}:p)-子群仅有(1)个，那它必为正规子群，可以将群拆分为( ext{Sylow}:p)-子群及其商群来研究。如果( ext{Sylow}:p)-子群有(n>1)个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从(G)到(S_n)的同态映射，这就说明了(G)有同态于(S_n)的商群。
在上面我们得到过结论：(pq)阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但(p mid q-1,q mid p-1)，则(p)-子群和(q-)子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。
这个正规性还使得( ext{Sylow}:p)-子群可参与有限群的分解。若有(|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}cdots p_s^{e_s})，且( ext{Sylow}:p_k)-子群(P_k)都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意(dmid|G|)，设(d=p_1^{e'_1}p_2^{e'_2}cdots p_s^{e'_s})。由Sylow定理知，(P_k)中总有(p_k^{e'_k})阶子群(H_k)，则显然(H_1 imes H_2 imes cdots imes H_s)的阶就是(d)。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意(dmid|G|)都有阶为(d)的子群。
[G=P_1 imes P_2 imes cdots imes P_s ag{10}]
考虑几个习题：
• (P)为( ext{Sylow}:p)-子群，若(p)-群(H)满足(Hsubseteq N(P))，则(Hsubseteq P)；
• 同构意义下，(6)阶群只有循环群和(S_3)；
• 若(|G|=p^2q)或(|G|=pqr)，则(G)不是单群。
2.3 有限交换群
刚才我们把有限交换群分解成了( ext{Sylow}:p)-子群的直积，现在来看交换群( ext{Sylow}:p)-子群(P)能否再进一步分解。考察(P)的一组生成元({a_1,a_2,cdots,a_n})，由于是交换群，则必定有(G=langle a_1 anglelangle a_2 anglecdotslangle a_n angle)。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个( ext{Sylow}:p)-子群(P)都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群(G)都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是(p)-群。它们的生成元被称为(G)的基，生成元的阶被称为初等因子，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。
[G=langle a_1 angle imeslangle a_2 angle imescdots imeslangle a_n angle,quad |a_k|=p_i^j ag{11}]
可以将(G)的初等因子分成多组(r_1,r_2,cdots,r_m)，并且满足(r_kmid r_{k+1})。相应地就有下式成立。(r_k)叫的不变因子，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限交换群基本定理（后面会从自由群的角度重新论证）。
[G=langle b_1 angle imeslangle b_2 angle imescdots imeslangle b_n angle,quad |b_k|mid|b_{k+1}| ag{12}]
关于群论的基础知识，我们在这里就匆匆结束了。下面我打算接着学习抽象代数的其它结构，后面会以更高的视角回来继续介绍群论，相信那个时候的理解会深刻一些。