DP---基本思想 具体实现 经典题目 POJ1160 POJ1037

POJ1160, post office。动态规划的经典题目。呃，又是经典题目，DP部分的经典题目怎就这么多。木有办法，事实就这样。

求：在村庄内建邮局，要使村庄到邮局的距离和最小。

设有m个村庄，分别为 V1 V2 V3 … Vm， 要建n个邮局，分别为P1 P2 P3 … Pn。

在DP的问题中，经常有从m个物体中选n个物体的情况，本题显然也属于这种情况。一般可以这样考虑：假设已经选了1个，那么就成了在m-1个中选n-1个的问题了。

对于此题，也可以考虑先建一个邮局。建在哪里呢？不妨设，该邮局建在Vk+1..Vm之间的某个村庄里，而且规定Vk+1..Vm之间再不允许建立其他邮局了。因此，剩下的n-1个邮局必然出现在V1..Vk之间的村庄内，这样问题就转换成：在前k个村庄里选n-1个邮局的问题。

设dp( m,n )表示在V1…Vm之间建立n个邮局时的最短距离。

L( i, j )表示在Vi…Vj之间建立一个邮局的最短距离。

状态转换方程：

dp( m,n ) = Min( dp( k,n-1 ) + L( k+1,m ) ),    其中：1 <= k<m

编程实现：没啥说的，具体看代码。

 

POJ1037, a decorative fence。这个题绝对不是入门级的，如果能独立做出来，那已经很NB了。嘿嘿，这一大段英文，先要把题目看懂就得费些气力。

问题：有n个长度不同的木条，现在按照类似字典顺序（长度小的排在前）对这n个木条排序，求第m个图像是什么？

设这n个木条分别为S1 S2 S3…Sn,它们的对应长度分别为1 2 3...n.

对这n个木条进行排序，结果无非有下面n类： 以S1开头，以S2开头…以Sn开头。按照题目要求对这n类进行排序。

S1 。。。

S2 。。。

。。。

Sn 。。。

如果能算出每个区间有多少种排列，那么就能确定要求的第m个排列了。好抽象呀，还是举个例子吧。如果以S1开头的有10种排列，以S2开头的有10种排列…现在有n个木条，如果要确定第15个排列，那么就可以知道第15个排列必然是以S2开头的。因为已经知道了最终排列的第一个木条是S2,那么只要依次求出后面n-1个木条即可。如果能把S2开头的区间再划分成若干个区间，并且知道每个区间的大小就和上面的问题一样了。

S2 S1 。。。

S2 S3 。。。

。。。

S2 Sn 。。。

这时问题就转换为：有n-1个木条，现在要确定第5个排列（15-10=5，以S1开头的排列已占去了10个）

现在结合题目，题目要求出现波浪形，即有高度变换。这时以Si开头的排列又可以分成两类：第二个木条比Si高，我们记做Hi, 第二个木条比Si低，我们记做Li。这时区间细分成如下形式：

L1 。。。

H1 。。。

L2 。。。

H2 。。。

。。。。。。

Ln 。。。

Hn 。。。

要确定最终的排列，关键是要知道每个区间里排列的个数。

设L( x,n )表示n个木条的排列中，以长度为x的木条开始，且下一个木条比X低的排列数。H( x,n )表示n个木条的排列中，以长度为x的木条开始，且下一个比X高的的排列数

状态转换方程：

L( x, n ) = , 其中 1 <= i < x

H( y, n ) = , 其中 y <= i < n

有状态方程在手，就可以依次确定要求排列的每个木条。

参考资料：

http://jay23jack.blog.163.com/blog/static/317951942009130215813/

http://blog.163.com/leyni@126/blog/static/16223010220103150173663/

 

POJ1160

#include <iostream>
using namespace std;

//***********************常量定义*****************************

const int V_MAX = 305;
const int P_MAX = 35;
const int INF = 999999999;


//*********************自定义数据结构*************************




//********************题目描述中的变量************************

//村庄数
int vNum;
//邮局数
int pNum;
//村庄坐标
int vPos[V_MAX];


//**********************算法中的变量**************************

//d[i][j]表示在村庄i和村庄j之间建1个Post office的最小距离和
int d[V_MAX][V_MAX];
//dp[i][j]表示在村庄1和村庄i之间建j个Post office的最小距离和
int dp[V_MAX][P_MAX];


//***********************算法实现*****************************

void Solve()
{
    int i, j, k;

    //利用DP，计算d[i][j]的值
    for( i=1; i<=vNum; i++ )
    {
        for( j=i+1; j<=vNum; j++ )
        {
            d[i][j] = d[i][j-1] + ( vPos[j] - vPos[( i + j )/2] );
        }
    }

    for( i=1; i<=vNum; i++ )
    {
        dp[i][0] = INF;
    }

    //利用DP，计算dp[i][j]的值
    for( i=1; i<=vNum; i++ )
    {
        for( j=1; j<=pNum && j<=i; j++ )
        {
            int min = INF;
            for( k=j-1; k<i; k++ )
            {
                if( dp[k][j-1] + d[k+1][i] < min )
                    min = dp[k][j-1] + d[k+1][i];
            }
            dp[i][j] = min;
        }
    }
    cout << dp[vNum][pNum] << endl;
}


//************************main函数****************************

int main()
{
    //freopen( "in.txt", "r", stdin );

    cin >> vNum >> pNum;
    for( int i=1; i<=vNum; i++ )
    {
        cin >> vPos[i];
    }

    Solve();
    return 0;
}

POJ1037

#include <iostream>
using namespace std;

//***********************常量定义*****************************

const int MAX_N = 25;


//*********************自定义数据结构*************************




//********************题目描述中的变量************************

//木条的数目
int n;
//栅栏的编号
long long c;


//**********************算法中的变量**************************

//up[n][i]表示：n个木条，且第一个木条长度为i的上升型栅栏数目
long long up[MAX_N][MAX_N];
//down[n][i]表示：n个木条，且第一个木条长度为i的下降型栅栏数目
long long down[MAX_N][MAX_N];

bool used[MAX_N];
bool isPrint;


//***********************算法实现*****************************

void FillTable()
{
    down[1][1] = 1;
    up[1][1] = 1;

    down[2][1] = 0;
    up[2][1] = 1;

    down[2][2] = 1;
    up[2][2] = 0;

    int i, j, k;
    for( i=3; i<MAX_N; i++ )
    {
        //??? j<=MAX_N
        for( j=1; j<MAX_N; j++ )
        {
            //??? k=j
            for( k=j; k<i; k++ )
            {
                up[i][j] += down[i-1][k];
            }
            for( k=1; k<j; k++ )
            {
                down[i][j] += up[i-1][k];
            }
        }
    }
}

void SolveAndPrint( int id, int count )
{
    for( int i=1; i<=count; i++ )
    {
        if( used[i] && i<=id )
        {
            id++;
            count++;
        }
    }
    used[id] = true;

    if( isPrint )
    {
        cout << " " << id;
    }
    else
    {
        cout << id;
        isPrint = true;
    }
}


//************************main函数****************************

int main()
{
    //freopen( "in.txt", "r", stdin );

    int caseNum;
    cin >> caseNum;

    //DP的填表
    FillTable();

    while( caseNum-- )
    {
        cin >> n >> c;

        //先搜索down
        bool isDown = true;
        bool isFirst = true;
        int id = 1;
        isPrint = false;
        memset( used, 0, sizeof(used) );

        while( n )
        {
            if( isDown )
            {
                if( c > down[n][id] )
                {
                    c -= down[n][id++];

                    if( isFirst )
                    {
                        //设置标记，下次搜索up
                        isDown = false;
                        //对每个id有down和up两个值
                        //确定第一个数时，down和up都要搜索
                        id--;
                    }
                }
                else
                {
                    //如果当前木条长度可确定
                    //问题规模减一
                    SolveAndPrint( id, n-- );
                    isFirst = false;
                    isDown = false;
                    id = 1;
                }
            }
            else
            {
                if( c > up[n][id] )
                {
                    c -= up[n][id++];
                    if( isFirst )   isDown = true;
                }
                else
                {
                    SolveAndPrint( id, n-- );
                    isFirst = false;
                    isDown = true;
                }
            }
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

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