动态规划 0-1背包问题

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
（能够从底向上递推的重要原因就是：最优子结构+无后效性 ）

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗？

 

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

package com.algorithm;  
//动态规划解决01背包问题  
  
/* 
 * 测试数据 
 * 背包最多能装10公斤物品，现有3件物品， 
 * 重量和价值分别为 
 * 3，   4 
 * 4，   5 
 * 5，   6 
 */  
public class Backpack_01 {  
  
    private static int capacity = 10;//背包容量  
    private static int num_items = 3;//物品数量  
  
    public static void main(String[] arg){  
        int[] weigth ={3,4,5};  
        int[] value ={4,5,6};  
  
        int[][] max = new int[num_items+1][capacity+1];  
        //initial array  
        for(int i=0;i<=num_items;i++){  
            for(int j=0;j<capacity;j++){  
                max[i][j]=0;  
            }  
        }  
        //  
        for(int i=1;i<=num_items;i++){  
            for(int j=1;j<=capacity;j++){  
                if(j<weigth[i-1]){  
                    //当前物品装不下时，背包最大价值还是等于原来  
                    max[i][j]=max[i-1][j];  
                }else{  
                    //是否装当前物品，取决于两者间的最大价值  
                    max[i][j]=Math.max(max[i-1][j-weigth[i-1]]+value[i-1], max[i-1][j]);  
                }  
            }  
        }  
        System.out.println("背包最大价值为： "+max[num_items][capacity]);  
    }  
}