Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.
Note: You can only move either down or right at any point in time.
Example:
Input: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ] Output: 7 Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.
这道题给了我们一个只有非负数的二维数组，让找一条从左上到右下的路径，使得路径和最小，限定了每次只能向下或者向右移动。一个常见的错误解法就是每次走右边或下边数字中较小的那个，这样的贪婪算法获得的局部最优解不一定是全局最优解，因此是不行的。实际上这道题跟之前那道 Dungeon Game 没有什么太大的区别，都需要用动态规划 Dynamic Programming 来做，这应该算是 DP 问题中比较简单的一类，我们维护一个二维的 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示到达当前位置的最小路径和。接下来找状态转移方程，因为到达当前位置 (i, j) 只有两种情况，要么从上方 (i-1, j) 过来，要么从左边 (i, j-1) 过来，我们选择 dp 值较小的那个路径，即比较 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]，将其中的较小值加上当前的数字 grid[i][j]，就是当前位置的 dp 值了。但是有些特殊情况要提前赋值，比如起点位置，直接赋值为 grid[0][0]，还有就是第一行和第一列，其中第一行的位置只能从左边过来，第一列的位置从能从上面过来，所以这两行要提前初始化好，然后再从 (1, 1) 的位置开始更新到右下角即可，反正难度不算大，代码如下：
解法一：
class Solution { public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; int m = grid.size(), n = grid[0].size(); vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); dp[0][0] = grid[0][0]; for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i - 1][0]; for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j - 1]; for (int i = 1; i < m; ++i) { for (int j = 1; j < n; ++j) { dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } return dp[m - 1][n - 1]; } };
我们可以优化空间复杂度，可以使用一个一维的 dp 数组就可以了，初始化为整型最大值，但是 dp[0][0] 要初始化为0。之所以可以用一维数组代替之前的二维数组，是因为当前的 dp 值只跟左边和上面的 dp 值有关。这里我们并不提前更新第一行或是第一列，而是在遍历的时候判断，若j等于0时，说明是第一列，我们直接加上当前的数字，否则就要比较是左边的 dp[j-1] 小还是上面的 dp[j] 小，当是第一行的时候，dp[j] 是整型最大值，所以肯定会取到 dp[j-1] 的值，然后再加上当前位置的数字即可，参见代码如下：
解法二：
class Solution { public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; int m = grid.size(), n = grid[0].size(); vector<int> dp(n, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int i = 0; i < m; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (j == 0) dp[j] += grid[i][j]; else dp[j] = grid[i][j] + min(dp[j], dp[j - 1]); } } return dp[n - 1]; } };
我们还可以进一步的优化空间，连一维数组都不用新建，而是直接使用原数组 grid 进行累加，这里的累加方式跟解法一稍有不同，没有提前对第一行和第一列进行赋值，而是放在一起判断了，当i和j同时为0时，直接跳过。否则当i等于0时，只加上左边的值，当j等于0时，只加上面的值，否则就比较左边和上面的值，加上较小的那个即可，参见代码如下：
解法三：
class Solution { public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) { for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) { if (i == 0 && j == 0) continue; if (i == 0) grid[0][j] += grid[0][j - 1]; else if (j == 0) grid[i][0] += grid[i - 1][0]; else grid[i][j] += min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]); } } return grid.back().back(); } };
下面这种写法跟上面的基本相同，只不过用了 up 和 left 两个变量来计算上面和左边的值，看起来稍稍简洁一点，参见代码如下：
解法四：
class Solution { public: int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) { if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0; for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) { for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) { if (i == 0 && j == 0) continue; int up = (i == 0) ? INT_MAX : grid[i - 1][j]; int left = (j == 0) ? INT_MAX : grid[i][j - 1]; grid[i][j] += min(up, left); } } return grid.back().back(); } };
Github 同步地址：
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/64
类似题目：
参考资料：
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/discuss/23457/C%2B%2B-DP
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/discuss/23617/C%2B%2B-solution-beat-98.59
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/discuss/23611/My-Java-clean-code-DP-no-extra-space