在 hankcs 大神开源的HanLP里面提供了很多分词算法，其中有一个维特比算法分词，于是查了一些资料发现：维特比算法用来求解隐马尔可夫模型的第二个问题：给定一个模型和某个特定的输出序列，找到最可能产生这个输出序列的状态序列---参考《数学之美 隐马尔可夫模型 章节》
于是就寻找各种隐马模型的资料，发现了很多写得好的文章，自己就没有必要造一些质量差的轮子了……^~^
本文就是在上面两篇文章的基础上，记录一下 前向算法 的实现细节，毕竟前向算法和维特比算法一样，都有着动态规划的思想在里面。
引用原博文中的定义：
对于HMM模型，首先我们假设Q是隐藏状态的集合，V是观测状态的集合：
也即：某个隐藏状态只能是集合Q中的某个元素，Q一共有N个元素，也即：假设一共有N个隐藏状态。同理，一共有M个观测状态。
对于一个长度为T的序列，用 I 表示状态序列，用 O 表示观察序列：
首先解释一下状态转换概率aij，在 t 时刻隐藏状态 it 取值为qi，经过状态转换，在 t+1 时刻 it+1 变成了 qj
(其中 qi 和 qj 都是 隐藏状态集合Q 中的元素)
从状态转换概率ai,j可看出：它是一个条件概率，t+1时刻的状态 只与 t 时刻的状态有关。这个就是齐次马尔可夫链假设。
由于一共有N个隐藏状态，每个隐藏状态之间都可能相互转换，因此状态转换矩阵A 是一个 N*N维的矩阵。
再解释一下观测状态概率bj(k) 它表示 隐藏状态 qj 生成 观测状态 vk 的概率。根据 观测独立性假设：任意时刻的观察状态只仅仅依赖于当前时刻的隐藏状态。即：t 时刻观测状态ot的取值，只与 t时刻 的隐藏状态 it 的取值有关。隐藏状态 it 取值为qj 时，观测序列ot 取值为vk 的概率用 bj(k) 表示。
因为，对于隐藏状态集合Q里面任何一个隐藏状态qj ，它都以一定的概率生成一个观测序列vk
由于一共有N个隐藏状态，一共有M个观测状态。故生成概率的矩阵B 是一个N*M维的矩阵。
另外，再加上隐藏状态的初始分布∏，就构成了隐马尔可夫模型了。
文章第三小节中还举了个HMM模型的示例：从盒子中取球。
从盒子中取出来的球是红色的，还是白色的，取出来的球是我们看到的结果，也即观测序列。它为：O={红，白，红}
而{盒子1，盒子2，盒子3}则是隐藏序列。球是从盒子中产生的，比如说：对于盒子1而言，它有可能产生所有的观测序列：红 或者 白；产生 红球的概率为0.5，产生白球的概率也为0.5
文章中第四小节讲了观测序列的生成过程，首先由初始状态概率分布产生 第1时刻 的隐藏状态，这一步相当于：首先从哪个盒子中拿球
然后一个循环从1到T：知道了从哪个盒子中取球后，取出来的球是红色还是白色？这个就是 由隐藏状态 it 生成 观测状态 ot 的过程。
接下来，隐藏状态按照 状态转换矩阵 转换到下一个隐藏状态，用图画出来就是下面这样：
然后，下一个隐藏状态 再 按照 观测状态概率矩阵 产生 观测序列。
总之：某个盒子 相当于 一个隐藏状态，产生的一个 红球或者白球相当于 一个观测序列
文中第5小节介绍了HMM模型的三个问题：
第一个是评估观察序列的概率。也就是这篇文章：隐马尔科夫模型HMM（二）前向后向算法评估观察序列概率
因此，我就接着这篇文章隐马尔科夫模型HMM（二）前向后向算法评估观察序列概率 来记录一下我对前向算法的理解。
我们有了隐马尔可夫模型，用λ来表示，现在给定一个观测序列O，要求解观测序列O在 λ 下的概率P(O|λ)
有两种求解方法：第一种是暴力法，如下：
对于任意一个隐藏序列 I，出现的概率是：
为什么呢？这个公式描述的是：
πi1 是初始隐藏状态分布概率值，以πi1 概率 选择了某个隐藏状态qi1，然后，经过状态转移概率ai1,i2 从隐藏状态qi1 转移到了qi2
由于长度为T，经转移概率 不断地转换：从隐藏状态 qi2 经转移概率 ai2,i3 转换到了 qi3……最终产生了 T个隐藏状态。
那对于一个长度为T的 隐藏序列，它的取值一共有多少种呢？前面提到：隐藏状态集合Q的大小是N，故一共有 NT 种不同的隐藏序列！
现在有了隐藏序列 I ，在这个隐藏序列 I 下，观察序列 O={o1,o2,……oT} 出现的概率是：
为什么呢？
根据：观测独立性假设，任意时刻的观察序列只依赖于当前时刻的隐藏序列。那么 隐藏状态 qi1 产生 观测状态o1 的概率为：bi1(o1) ，这正是 生成概率矩阵干的事儿。
根据概率论中的乘法原理：把所有的这些概率乘起来，就是P(O|I,λ)
再根据贝叶斯公式：P(A,B)=P(B)*P(A|B)
(A,B) 相当于 (O,I | λ)
B相当于 （I | λ）
A|B 相当于 (O| I,λ)
而这就是在条件λ下 关于 O 和 I 的联合概率分布。有了联合概率分布，通过对 I 求和，得到边缘概率分布P(O|λ) 就是隐马尔可夫模型第一个问题的解。
【隐马尔可夫模型第一个问题定义：给定一个HMM模型，计算某个特定的输出序列的概率】
由于一共有NT种隐藏序列，上面式子两两相乘，一共有 (2T-1)*NT 乘法操作，故时间复杂度O(TNT)
可以看到，暴力法是个指数级复杂度算法。因此，前向算法 就出场了。
在使用前向算法求解HMM的观测序列概率时，先定义了 前向概率αt(i)：
在隐马模型λ下，定义时刻 t 的隐藏状态为qi 观测序列为o1 o2 ...ot 的概率如下：
其实我这里有个关于前向概率和后向概率的疑问：前向概率关于 t 时刻的隐藏状态qi是联合概率，但后向概率 关于时刻t的隐藏状态qi是条件概率。好不，不管了，接着说。
由于前向算法是一个动态规划算法，而动态规划讲究：将原问题分解成 规模更小的子问题。怎么分解的呢？通俗地讲，就是通过递归表达式分解的，这个递归表达式在动态规划中称为状态转移方程。这也是这篇文章隐马尔科夫模型HMM（二）前向后向算法评估观察序列概率中提到的 “递归表达式”
αt(j)*ai,j 表示什么？其实原文已经讲得很清楚了。我再解释一下：核心地讲：在 t 时刻，隐藏状态为 qj, 经状态转移概率ai,j 转移成了t+1 时刻的 qi
既然 t+1 时刻的隐藏状态是 qi了，而我们知道：t+1时刻的隐藏状态qi 是可以从 t 时刻的任何一个“潜在”的隐藏状态 转移 而来的
隐藏状态的集合为Q={q1,q2,...qN}因此：需要 对 j 从1到N求和 。
再进一步，t+1 时刻的隐藏状态 qi 再乘以 在 qi状态下 产生 观测序列 ot+1 的概率 bi(ot+1)，那就是在 t+1 时刻观测到 o1 o2 ...ot+1 的概率了。
解释完了上面的递归表达式，再来说说，为什么动态规划降低了时间复杂度。
在动态规划中，原问题规模 是 t+1 时刻的 前向概率αt+1(i)，子问题则是：t 时刻的 前向概率，t 相比于 t+1， 问题的规模更小了。
从递归方程中可看出：要想求解 αt+1 需要知道 αt，而要想求解 αt ，又需要知道 αt-1……
因此，动态规划中都有一个初始值概率 α1：
从初始值概率开始，把每步计算出来的 α1 存起来放在一个表里，通过“查表”的方式计算下一步α2的概率……
而暴力算法则是：穷举所有的 隐藏状态的序列，对所有的 隐藏状态序列生成的 观察序列O 的概率值求和，得到P(O|λ)。
总结：
目前大致把HMM模型的第一个问题的求解方法（前向算法）了解了。后向算法和前向算法思路差不多，但是还是有点小疑问，先这样了。另外得学习一下Latex语法和Markdown了。截图片太low了。~^~^~
上面很多内容参考了这二篇博文：
写这篇文章主要是防止自己以后又把整个推导过程给忘了，故写下来记录一下。以后提醒下自己先把上面的两篇博文看上几次，再来看自己写的这篇文章吧。
继续接着隐马尔科夫模型HMM（四）维特比算法解码隐藏状态序列 这篇文章开始：）
这篇文章的第一小节部分：讲到了使用“近似算法”来求解 HMM的隐状态序列。这个近似算法其实是一个贪心算法，也就是说：在 t 时刻(t=1,2,...T)，得到最可能的隐藏状态i*t,
这种思路是：在t=1时刻，求出最可能的隐藏状态i*1，在t=2时刻，求出最可能的隐藏状态i*2,……在t=T时刻，求出最可能的隐藏状态i*T，再将每个时刻求得的隐藏状态作为 t=1,2,3...T的 最优隐藏状态序列。
然而，每一步都做当前最好的选择，并不能保证全局是最优的。
因此，隐马尔科夫模型HMM（四）维特比算法解码隐藏状态序列 的第二部分讲到：用维特比算法，将隐藏状态序列作为整体来考虑，从而求解 全局最优解。
维特比算法的实现思路 和 前向算法 的实现思路非常相似：都是先定义一个公式（概念），然后基于该公式寻找 递归表达式。
在前向算法中，定义了一个“前向概率” 公式，基于该公式 得出一个递归表达式。
维特比算法中，定义了一个“局部状态”：在时刻 t 隐藏状态为 i(值为qi) 的 所有可能状态转移路径i1, i2, ... it 中的最大值δi(t)。然后基于δi(t) 得出一个递归表达式。
而这两个算法 推导 递归表达式的过程 基本上是一样的：都是基于 齐次马尔可夫链 假设 乘以状态转移概率，然后再基于 观测独立性假设 乘以 相应的生成概率 得出递归表达式。
另外，值得一提的是：在维特比算法中，还要记录“概率最大的转移路径节点的隐藏状态Φt(i)”，这主要是用于动态规划过程中的“回溯”，因为动态规划算法按照递归表达式将所有路径给计算出来了，然后再通过“回溯” 来得出最优的那条路径。关于“回溯”可参考《算法导论》里讲解 动态规划求解 “最长公共子序列”的示例(求解两个字符串的最长公共子序列)。
隐马尔科夫模型HMM（四）维特比算法解码隐藏状态序列 中的第四部分还给出了一个维特比算法的一个具体的求解示例，真的是非常的详细具体。至此，基本上把HMM模型的“前向算法”和“维特比算法”了解了一下。全都是自己的理解，如有错误，还请批评指正。
原文：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/8409163.html