【洛谷P1896】互不侵犯【状压dp】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1896
在$N imes N$的棋盘里面放$K$个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上、左下、右上、右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

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思路：

由于棋盘最大只有$9 imes 9$，所以可以考虑使用状压$dp$。
设$f[i][j][k]$表示第$i$行，状态为$j$，前$i$行已经放了$k$个国王的方案数。
显然还需要枚举上一行的状态。为了满足任意两个国王不能斜线、直线上相邻，所以需要判断上一行的状态和这一行的状态是否满足

x&y=0
x&(y<<1)=0
x&(y>>1)=0

其中$x,y$分别表示这一行的状态和上一行的状态。
可以先把所有合法的状态（即这一行内没有任何两个国王相邻）预处理出来，顺便初始化$f$数组和$s$数组，$s$数组表示这个状态中放置了几个国王。
然后就不用枚举状态，直接枚举合法状态集合的编号。
设$i$表示第$i$行，$j$表示这一行的状态是第$j$个合法状态，$k$表示上一行的状态是第$k$个合法状态，前$i-1$行放了$l$个王的方案数。
转移方程就是
$f[i][j][l+s[j]]+=f[i-1][k][l]$
答案就是$sum^{cnt}_{i=0}f[n][i][m]$
其中$cnt$表示有多少个合法状态。
需要开$long long$。时间复杂度$O(nm imes cnt^2)$。

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=(1<<9);
int n,m,maxn,cnt,q[MAXN],s[MAXN];
ll f[10][MAXN][100],ans;

bool check(int x)  //判断这个状态是否是合法状态
{ 
	bool flag=0;
	while (x)
	{
		if (x&1&&flag) return 0;
		if (x&1) flag=1;
			else flag=0;
		x>>=1;
	}
	return 1;
}

int count(int x)  //这个状态中放置了多少个国王
{
	int sum=0;
	while (x)
	{
		sum+=(x&1);
		x>>=1;
	}
	return sum;
}

bool check_push(int x,int y)  //判断这两行是合法
{
	if (x&y) return 0;
	if (x&(y<<1)) return 0;
	if (x&(y>>1)) return 0;
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	maxn=(1<<n);
	for (int i=0;i<maxn;i++)
		if (check(i))
		{
			q[++cnt]=i;
			s[cnt]=count(i);
			f[1][cnt][s[cnt]]=1;
		}
	for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=cnt;j++)
			for (int k=1;k<=cnt;k++)
				if (check_push(q[j],q[k]))
					for (int l=0;l<=m-s[j];l++)
						f[i][j][l+s[j]]+=f[i-1][k][l];
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
		ans+=f[n][i][m];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}