以$Lambda_{p}(l)$代表$pin M$的全体$l$形式的集合$left(lle n
ight)$，则有
$$ ext{dim}Lambda_pleft(l
ight)=frac{n!}{l!left(n-l
ight)!}= ext{dim}Lambda_{p}left(n-l
ight)。$$
若$M$是带度规$g_{ab}$的定向流形，$mvarepsilon$为适配体元，则可以用$mvarepsilon$及$g_{ab}$在$Lambda_{M}(l)$和$Lambda_{M}left(n-l
ight)$之间定义一个同构映射（矢量空间之间的一一到上的线性映射）：
定义1 $forallm{omega}inLambda_{M}left(l
ight)$，定义其对偶微分形式$^*m{omega}inLambda_{M}left(n-l
ight)$为：
$$^*omega_{a_{1}cdots a_{n-l}}:=frac{1}{l!}omega^{b_{1}cdots b_{l}}varepsilon_{b_{1}cdots b_{l}a_{1}cdots a_{n-l}}，$$
其中$omega^{b_{1}cdots b_{l}}$是用度规$g_{ab}$升指标得到的，即
$$omega^{b_{1}cdots b_{l}}=g^{b_1a_1}cdots g^{b_la_l}omega_{a_1cdots a_l}，$$
$^*$称为$ ext{Hodge star}$。
例： $finmathscr{F}_M$是$0$形式场，根据定义，其对偶微分形式为
$$^*f_{a_1cdots a_{n}}=frac{1}{0!}fvarepsilon_{a_1cdots a_{n}}=fvarepsilon_{a_1cdots a_{n}}，$$
即适配体元$m{varepsilon}$的$f$倍，因此函数$f$的积分$int_Mf=int_Mfm{varepsilon}$定义为其对偶形式场的积分。对上面式子再取$^*$有
$$^*left(^*f
ight)=^*left(fm{varepsilon}
ight)=frac{1}{n!}fvarepsilon^{a_1cdots a_n}varepsilon_{a_1cdots a_n}=left(-1
ight)^sf，$$
$s$是正交归一基底中的度规分量的$-1$的个数。
定理：$$ ^*(^*m omega)=(-1)^{s+l(n-l)}momega $$
证明：
$momegainLambda_{M}left(l
ight)，$且$ ext{dim}M=n。$利用对偶微分形式的定义有
$$^*momega_{b_1cdots b_{n-l}}=frac{1}{l!}momega^{a_1cdots a_{l}}mvarepsilon_{a_1cdots a_{l}b_1cdots b_{n-l}}。$$
再次利用对偶微分形式的定义
$$^* left(^*momega
ight)_{c_1cdots c_l}=frac{1}{(n-l)!}frac{1}{l!}momega_{a_1cdots a_{l}}varepsilon^{a_1cdots a_l b_1cdots b_{n-l}}varepsilon_{b_1cdots b_{n-l}c_1cdots c_l}$$
注意到
$$varepsilon^{a_1cdots a_{l}b_1cdots b_{n-l}}=(-1)^{l(n-l)}varepsilon^{b_1cdots b_{n-l}a_1cdots a_l}$$
并且
$$varepsilon^{b_1cdots b_{n-l}a_1cdots a_l}varepsilon_{b_1cdots b_{n-l}c_1cdots c_l}=(-1)^s(n-l)!l!delta^{[a_1} \,_{c_1}cdotsdelta^{a_l]}\,_{c_l}$$
于是有
$$^*left(^*momega
ight)=left(-1
ight)^{s+lleft(n-l
ight)}momega$$
我们可以用微分几何观点重新观察三维欧氏空间$(mathbb{R}^3,delta_{ab})$上的矢量代数和矢量场论（其中$M$就是$mathbb{R^3}$）。比如三维欧氏空间中的叉乘可以看做是楔积的对偶形式。
三维欧氏空间中的矢量场论：
1. $vec{
abla}f=partial_{a}f；$
2. $vec{
abla}cdotvec{A}=partial_aA^a；$
3. $vec{
abla} imesvec{A}=varepsilon^{abc}partial_aA_b；$
4. $vec{
abla}(vec Avec B)=partial_{a}(A^aB^b)；$
5. $vec{
abla}vec{A}=partial^{a}A^b；$
6. $
abla^2f=partial_apartial^af；$
7. $
abla^2vec{A}=partial_apartial^aA^b。$
3维欧氏空间的梯度、旋度和散度可以用外微分简单表述：
定理：
$$ ext{grad}f=df, ext{curl}vec{A}=^*dm{A}, ext{div}vec{A}=^*d(^*m{A})$$
证明：
$$ ext{grad}f=
abla_af=df$$
$$ ext{curl}vec{A}=varepsilon_a\,^{bc}partial_aA_b=frac12varepsilon_a\,^{bc}(dA)_{ab}=^*dm{A}$$
下面看第三式左边：
$$^* d(^*m A)= abla_aA^a$$
第三式右边：
[egin{aligned} &^*d(^*m A)\ =&^*d(frac{1}{1!}A^avarepsilon_{abc})\ =&^*3 abla_{[d}A^avarepsilon_{|a|bc]}end{aligned}]
参考：
1.《微分几何入门与广义相对论》上册p121-p124.