1、为什么要学泰勒公式？
泰勒公式刚碰到时，总觉得一头雾水，一大串数字，把一个简简单单的初等函数描述出来，这样岂不是很复杂？在进一步理解泰勒公式之后，我觉得泰勒公式还是非常有用的，单单就我个人认为，当然涉及到其它许多领域也有它的身影，只不过就笔者一个备考的人来说，目前只认识到他在数学方面上的意义而已。
比如我们通常认识的sinx,e^x,cosx,tanx。这些初等函数似乎很简单，但是不要忘了，我们从初中以来，只会计算它的一些特殊角的值，比如30,0,60度这些特殊角，后来进一步学了更深层次的sin2x,cos2x,使我们可以计算15,105度诸如此类的特殊角，相比初中时期的我们来说，我们有所进步，但是对于角度为2,3,4这些等等的更具一般意义的角度我们就熟手无策了！
这个时候泰勒公式就出现了，泰勒公式的思想就在于：用多项式去拟合一个函数图像（说白了就是拿这些多项式去近似代表一个函数），就拿e^x,sinx这些来说，可以通过一些简简单单的，带有不同系数的幂函数进行累加表示。
2、泰勒公式
（1）泰勒公式：
（相应的，X0=0时，称为麦克劳林公式）
麦克劳林公式：
就像上面的这个式子所示，它只涉及到了简单的幂函数的加和运算，就把一些抽象的初等函数，诸如sinx,cosx,e^x，转化为泰勒公式的形式（幂函数求和），这在电脑编程也化抽象为具体，容易实现。
这里给出泰勒公式的各项系数的推导：
此处的C就是系数，我们通过推导，可以知道，泰勒公式的每个系数都与原函数的导数有关，即我们的多项式的各阶导数都与原函数相同，这样我们拟合的函数就可以近似代表原函数了。
（2）对应的例子：
下面均用麦克劳林公式举例，因为麦克劳林公式，是X0=0，即泰勒公式的特殊形式。特殊形式更容易理解，理解完特殊形式，再思考一般形式就比较好理解了。
先来说一下，幂函数的和（即多项式求和）为什么可以去表示任何一个函数。
《1》先看两幅图：
上面两幅图，实际上说明了，所有幂函数都只有两种形式，一种是关于y对称，另一种是关于原点对称。
《2》继续看两幅图
这里可以看出，比较高次的幂函数，总体上远远超过低次函数的变化程度。当两个系数一致，次数不同的幂函数相加时，低次函数总会被压制。
这里可以看出，通过改变系数，不同次数的幂函数图像会先呈现低次幂函数的特性，再随着X变量增大，呈现高次幂函数的特性。
拿e^x通过麦克劳林（在0处展开的泰勒公式）展开看看:
可以看到展开的项越多，越精确。
再看看sinx
随着项数的增加也是越来越靠近。
总结：
（1）上面的图像都是麦克劳林公式展开的情况。也就是泰勒公式在0处展开。一般的，我们可以在任意位置张开，即f(X),X取任意值，得到一般的泰勒公式。
（2）泰勒公式在用于求函数值的时候，即X趋近于某个数时，拟合效果（近似效果还是挺好的），拿考研举例，一般是用于求函数在自变量趋于某个数的值，此时使用泰勒公式求得的值就行带入就很准确；
（3）如果泰勒公式在拟合一些比较变态的函数图像，必须保证展开的n次项足够大，在一定范围内才能准确表示。
3.泰勒公式的误差
上面说了很多泰勒公式的项，却没说到误差，因为泰勒公式我们主要用来近似一个函数，所以误差就是公式后面的 Rn(X)。
它怎么计算呢？
<1>先看看拉格朗日中值定理：
说白了就是，有一个函数f(X)在【a,b】连续，（a,b）上可导，那么把a,b连起来，直线ab的斜率k，在【a,b】区域内可以找到一个导数，使得这个导数 f'(x)=k
这个就是当我们用一个项数去近似函数的时候，误差就为
。
类似的当扩大项数时，误差为：
再加一点。
到这里就完结了。
我真的是对比先人望尘莫及，先人可以想到这么棒的方法，我单单是理解，学着用就死了多少脑细胞了……
