【FJOI2014】【偏导+数学】病毒防护带

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问题描述:

众所周知，在国王胖哥的带领下，K国国泰民安，空前繁荣，但今天K国却遇到了空前的危机。

在K国境内同时发现了n个未知的病毒，每个病毒会从它被发现的位置开始感染K国的土地，K国可以看做是一个无限大的二维平面，而病毒的感染形状可以看做是一个不断扩大的圆形区域，即在t时间这个病毒会感染半径为t的圆形土地，这个圆形的圆心为发现这个病毒的位置。

但是万幸的是，K国有独特的病毒防护带可以杀死这些病毒，所以K国国王胖哥在刚发现病毒之时就开始着手进行杀毒工作，所谓的病毒防护带可以看成是一条直线，可以选定建立在K国的任意位置，即可以放置在K国所表示的平面上的任意位置，一旦病毒在扩散的过程中接触到这个防护带，病毒就会死亡，它感染的土地面积就固定为这个病毒死亡时所占的土地面积。注意由于防护带的建立十分昂贵，K国最多只能建立一条病毒防护带。

现在胖哥想知道要如何设立这个病毒防护带，才能使每个病毒感染的平均面积最小，即被感染的总土地面积除以病毒数n，每个病毒可以独立看待，即任意一个病毒的死亡不会影响到其他的病毒。注意如果同一个区域被多个病毒感染，那么在计算被感染的土地面积时需要计算多次，即若有一个病毒在位置(0,0)被发现，一个病毒在位置(1,1)被发现，它们都在t=1时接触到防护带死亡，那么此时K国被感染的面积为pi*2，病毒感染的平均面积为pi。

由于K国有举世无双的安全监测系统和卫生防护系统，可以认为在病毒防护带建立完毕之后病毒才开始进行扩散。若病毒出现在病毒防护带上，他感染的土地面积可以看做0。

★编程任务：

请编程输出在最优决策下，这些病毒感染的平均面积。

★数据输入：

输入文件名为vir.in。

文件的第1行中给出正整数Q，表示该组数据中有多少组测试样例。

每组样例首先输入一个整数n (0 < n ≤ 1000000)，表示该组样例中病毒的个数，之后一行输入两个正整数x，y，表示第一个病毒的坐标，之后一行输入三个正整数a，b，c，如果第i个病毒的坐标为(x, y)，那么第i+1个病毒的坐标为(x’, y’)，其中x’=(a*x*x + b*x + c)%107，y’=(a*y*y + b*y + c)%107，其中%是取模运算符号

输入数据保证:

20%的数据满足n≤3；

50%的数据满足n≤1000；

100%的数据满足Q≤10，n≤1000000，0 ≤x, y, a, b, c≤100。

★结果输出:

输出文件名为vir.out。

首先输出样例编号，之后输出在最优决策下，这些病毒会感染的K国的土地面积，答案保留5位小数，详见输出示例，请严格按照输出实例中的格式输出

输入示例	输出示例
2 2 0 0 0 0 1 3 1 2 3 4 5	Case 1: 0.00000 Case 2: 58.42574

【分析】
(转载)

 

 不错的题目...想不到省选会出这么有（sang）趣（bing）的数学题

#include<cstdio>
#include<cmath>
int t,n,x,y,a,b,c,i,ii;double ans,tmp,A,B,C,sx,sx2,sy,sy2,sxy,pi=acos(-1);
double abs(double x){return x>0?x:-x;}
int main()
{
    for(scanf("%d",&t),ii=1;ii<=t;printf("Case %d: %.5lf
",ii,ans*pi/n),ii++)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&x,&y,&a,&b,&c);
        sx=x,sy=y,sx2=x*x,sy2=y*y,sxy=x*y;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            x=(a*x*x+b*x+c)%107;
            y=(a*y*y+b*y+c)%107;
            sx+=x,sy+=y,sx2+=x*x,sy2+=y*y,sxy+=x*y;
        }
        if(abs(sx*sy/n-sxy)<=1e-9)ans=0;
        else
        {
            C=(sy2-sx2+(sx*sx-sy*sy)/n)/(sx*sy/n-sxy);
            B=(-C+sqrt(C*C+4))/2;
            A=(sy-B*sx)/n;
            ans=(sy2+n*A*A+B*B*sx2-2*A*sy-2*B*sxy+2*A*B*sx)/(1+B*B);
            B=(-C-sqrt(C*C+4))/2;
            A=(sy-B*sx)/n;
            tmp=(sy2+n*A*A+B*B*sx2-2*A*sy-2*B*sxy+2*A*B*sx)/(1+B*B);
            if(ans>tmp)ans=tmp;
        }
    }
}