BSGS

BSGS

前置芝士

(Baby-Step-Giant-Step) 算法，即大步小布算法，缩写为 (BSGS)

作用

解决类似 (y^xequiv z(mod~p))，给定 (y,z,p>=1) 求解 (x) 的问题

（普通的 (BSGS) 只能求解 (gcd(y,p)=1) 的情况）

推导过程

设 (x=a*m+b,m=lceil sqrt p ceil,ain[0,m),bin[0,m))

则 (y^{a*m}equiv z*y^{-b}(mod~p))

怎么求解？（当然可以逆元，主要是懒）

为了方便，设 (x=a∗m−b) ，那么(y^{a*m}equiv z∗y^b(mod~p))

枚举 (bin[0,m]) ,将 (z*y^b) 存入 (hash) 表（也可存入 (map) ，但是常数较大，没有 (hash) 跑的快）

枚举 (ain[1,m]) ,从 (hash) 表中寻找第一个满足 (y^{a*m}equiv z∗y^b(mod p))

此时 (x=a*m-b) 即为所求 （这里面 (m=sqrt p) ）

（接下来是短暂的证明 (m) 为什么取 (sqrt p)）

(x) 值最大时 (a=m,b=0) ，为 (x=m*m=p) ，超过 (p) 怎么办？

有一个公式 (a^{p-1}equiv 1(mod~p)) 因此 (a^kequivdfrac{a^k}{a^{(p-1)*w}}(mod~p))

当 (k>p)时，可化为 (a^kequiv a^{(k~mod~p-1)}(mod~p))

所以 (x>p) 也会被%到 (x<p) ，这时可以直接找之前的答案

例题

P2485 [SDOI2011]计算器

题意

健达计算器，三个操作，一次满足（不是

思路

第一种：快速幂即可。

第二种：用拓展欧几里得算法即可。已知 (a,b,p) ，求 (x) 的最小值，使得 (a*xequiv b(mod~p)) ，

​ 可转化为：(a*x+p*y=b) ，要求 (gcd(a,p)|b) ，否则无解。

​ （鄙人偷懒，用了另一种办法：(xy=z(mod~p)~~=>~~xequiv z*y^{-1}(mod~p)) ，

​ 然后用乘法逆元求解即可）

第三种： (BSGS) 即可。

（记得特判 (y|p) 的情况）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#define ll long long
#define re register

using namespace std;
const int HashMod=100007;

inline int read(){
	re int x=0,f=1;
	re char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

int fpow(int a,int b,int mod)
{
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)
			s=1ll*s*a%mod;
			a=1ll*a*a%mod;
			b>>=1;
	}
	return s;
}

namespace Task1
{
	void Solve(int y,int z,int p){
		printf("%d
",fpow(y,z,p));}
}

namespace Task2
{
	void Solve(int y,int z,int p){
		if(y%p==0&&z%p)
			puts("Orz, I cannot find x!");
		else
			printf("%lld
",1ll*fpow(y,p-2,p)*z%p);//就是这里，因为写了快速幂，就顺手用了一下  
	}
}

namespace Task3
{
	struct HashTable//hash表  
	{
		struct Line{ int u,v,next;}e[1000000];
		int h[HashMod],cnt;
		void add(int u,int v,int w)
		{
			e[++cnt]=(Line){w,v,h[u]};h[u]=cnt;
		}
		void Clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}
		void Hash(int x,int k){
			int s=x%HashMod;
			add(s,k,x);
		}
		int query(int x){
			int s=x%HashMod;
			for(re int i=h[s];i;i=e[i].next)
				if(e[i].u==x) return e[i].v;
			return -1;
		}
	}Hash;
	void Solve(int y,int z,int p){
		if(y%p==0){
			puts("Orz, I cannot find x!");
			return ;
		}
		y%=p;z%=p;
		if(z==1) {
			puts("0");
			return ;
		}
		int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();//注意 m 要向上取整 
		for(re int i=0,t=z;i<m;i++,t=1ll*t*y%p) Hash.Hash(t,i);//枚举x=a*m-b中的b  
		for(re int a=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;a<=m;a++,t=1ll*t*tt%p)//枚举x=a*m-b中的a  
		{
			int b=Hash.query(t);
			if(b==-1) continue;
			printf("%d
",a*m-b);
			return ;
		}
		puts("Orz, I cannot find x!");
	}
}

int main(){
	int T=read(),K=read();
	while(T--)
	{
		int y=read(),z=read(),p=read();
		if(K==1) Task1::Solve(y,z,p);
		if(K==2) Task2::Solve(y,z,p);
		if(K==3) Task3::Solve(y,z,p);
	}
	return 0;
}

（这个就自己做吧，比例题还简单）

至于 (ex~BSGS) 就在下一篇博客了