poj1061 青蛙的约会 && poj 2115 C Looooops<扩展欧几里得>

链接 ：http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会

　　　http://poj.org/problem?id=2115  C Looooops

首先我们先讨论欧几里得算法 （ gcd ):

gcd( a, b )即求两个数的最大公约数

递归算法： 

int gcd( int a, int b )
{
　　return b==0?a:gcd( b, a%b );  //gcd(a,b) = gcd(a%b,b)，这个递归一次以后就终止了无法保证a b可以继续减小，所以把 b 和 a%b交换顺序。
}

非递归算法：

int gcd( int a, int b )
{
　　if( b==0 )return 0;
　　while(b)
　　{
　　　　int t=a%b;
　　　　a=b;
　　　　b=t;
　　}
　　return a;

}

现在我们讨论算法的正确性，即证明gcd(a,b)==gcd(b,a%b),我们只要证明gcd(a,b)==gcd(a-b,b)即可，因为可以由此逐步扩展为gcd(a,b) == gcd(a-k*b,b),而 gcd(a-k*b,b)==gcd(a%b,b)。
因为a,b的公约数必然是a-b,b的公约数故 gcd(a,b) <= gcd(a-b,b);另a-b b的公约数也必然是a b的公约数，gcd(a,b) >= gcd(a-b,b).所以gcd(a,b) == gcd(a-b,b)。

再说扩展欧几里得:

扩展欧几里德算法是用来求解a*x+b*y==gcd(a,b)这样的方程的。同样利用gcd(a,b)==gcd(b,a%b)把a*x+b*y==gcd( a, b )转化为b*x'+(a%b)*y'==gcd( b, a%b );

根据递归的思想，假设现在我们已经求出了x' y',剩下的关键就是如何用x' y'求出x y.我们观察gcd(b,a%b) = b*x'+(a%b)*y'，只要把右边重新写成 a*x+b*y 的形式就行了，所以需要对b*x'+（a%b）*y'进行变形，因为a%b == a-a/b*b,故b*x'+(a%b)y' = b*x'+(a-a/b*b)y' == a*y' + b*(x'-a/b*y') .

这样便可得出 x = y' y = x'-a/b*y'。

所以扩展gcd的递归算法为

LL exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )
{
　　LL d, t;
　　if( b==0 )
　　{
　　　　x=1, y=0;
　　　　return a;
　　}
　　d=exgcd( b, a%b, x, y );
　　t=x, x=y, y=t-a/b*y;
　　return d;  　　　　　　// 返回gcd( a, b );
}

 这样我们就得到了方程的解 :

x==x0+b*t;　　　　//    特解+通解

y==y0+a*t; 

然后再看一般形式 a*x+b*y==c;

当且仅当 c%gcd( a,b )==0时方程才有解。

a*x+b*y==c的求解可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b),然后将x y扩大c/gcd(a,b)倍就可以了。

 

/*

poj1061

*/
#include <stdio.h>
typedef long long LL;
LL gcd( LL a, LL b )
{
    return b==0?a:gcd( b, a%b );
}
void exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )
{
    if( b==0 )
    {
        x=1, y=0;
        return ;    
    }
    exgcd( b, a%b, x, y );
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

int main( )
{
    LL x, y, m, n, l;
    LL a, b, c, k1, k2, r;
    while( scanf( "%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &l )!= EOF )
    {
        a=n-m, c=x-y;
        r=gcd( a, l );
        if( c%r )
        {
            puts( "Impossible" );
            continue;     
        }
        a/=r, l/=r, c/=r ;
        exgcd( a, l, k1, k2 );
        LL t=c*k1/l;
        k1=c*k1-t*l;
        if( k1<0 )
            k1 += l;
        printf( "%lld\n", k1 );    
    }
    return 0;
}

/*

poj2115

*/
#include <stdio.h>
typedef long long LL;
LL exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )
{
    LL d, t;
    if( b==0 )
    {
        x=1, y=0;
        return a;    
    }
    d=exgcd( b, a%b, x, y );
    t=x, x=y, y=t-a/b*y;
    return d;
}

// (a+c*m)%2^k=b ==> c*m-n*2^k=b-a;
int main( )  
{  
    LL A,B,C,k, a, b, c, x, y, n;  
    while(scanf("%lld %lld %Illd %lld",&A,&B,&C,&k))  
    {  
        if(!A && !B && !C && !k)  
            break;  
  
        a=C, b=B-A, n=(LL)1<<k;  //2^k   
        LL d=exgcd(a,n,x,y);  //求a,n的最大公约数d=gcd(a,n)和方程d=ax+by的系数x、y  
        if(b%d!=0)  //方程 ax=b(mod n) 无解  
           puts("FOREVER"); 
        else  
        {  
            x=(x*(b/d))%n;  //方程ax=b(mod n)的最小解  
            x=(x%(n/d)+n/d)%(n/d);  //方程ax=b(mod n)的最整数小解  
            printf("%lld\n",x);  
        }  
    }  
    return 0;  
}