棋盘分割

321. 棋盘分割

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。
现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差，其中平均值
，(xi)为第 i 块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出均方差的最小值。
输入格式
第1行为一个整数n。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
输出格式
输出最小均方差值（四舍五入精确到小数点后三位）。
数据范围
1<n<15
输入样例：
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
输出样例：
1.633

思路：对于一个完整的矩形[x1,y1,x2,y2]，我们有x2-x1+y2-y1种切法，考虑暴力的做法就是对于一个矩形枚举分割线，再枚举以分割开的两部分中的一个继续割，每次都取最小值。一共有8*8*8*8*16种，为了避免重复考虑，采用记忆化搜索的方式保存更新。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=9;
int n;
double sum[N][N],f[N][N][N][N][20],X;
double calc(int x1,int y1,int x2,int y2){
    double tmp=sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1];
    return (tmp-X)*(tmp-X)/(1.0*n);
}
double dfs(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
    if(f[x1][y1][x2][y2][k]>=0) return f[x1][y1][x2][y2][k];
	if(k==1) return f[x1][y1][x2][y2][k]=calc(x1,y1,x2,y2);
    double res=0x3f3f3f3f;
    for(int i=x1;i<x2;++i){
        res=min(res,dfs(x1,y1,i,y2,k-1)+calc(i+1,y1,x2,y2));
        res=min(res,calc(x1,y1,i,y2)+dfs(i+1,y1,x2,y2,k-1));
    }
    for(int i=y1;i<y2;++i){
        res=min(res,dfs(x1,y1,x2,i,k-1)+calc(x1,i+1,x2,y2));
        res=min(res,calc(x1,y1,x2,i)+dfs(x1,i+1,x2,y2,k-1));
    }
    f[x1][y1][x2][y2][k]=res;
    return res;
}
int main(){
    memset(f,0xfe,sizeof f);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=8;++i){
        for(int j=1;j<=8;++j){
            cin>>sum[i][j];
            sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
        }
    }
    X=sum[8][8]/(1.0*n);
    printf("%.3lf",sqrt(dfs(1,1,8,8,n)) );
    return 0;
}