6.15 考试修改+总结

昨天考崩了QAQ

几乎写全了暴力分，然而并没有什么卵用

因为只要A掉一道题就比我分高了，比我分高的也至少A掉了一道题QAQ

感觉到一丝淡淡的忧桑

貌似THUSC最后听讲课的那些人几乎都A了两题

看来我的THUSC果然只是RP好啊

第一题

显然选色数最少的颜色，设颜色数为m

考虑存在某个点的方案数，设这个点到k距离i个点

则方案数为(n-1-i)！/ ((m-i)!*j!*k!……） j,k等是其他颜色的色数

总方案也是非常好算的，这样我们就可以计算每个点对于期望的贡献了

这样做是O(n^2)的

之后我们考虑t=1的暴力分

不难发现问题转化为维护等差数列的和

这是个分块的经典问题，当公差d>sqrt(n)的时候，暴力是sqrt(n)的

当d<sqrt(n)的时候我们可以预处理答案，每个修改的时候暴力把sqrt(n)个d都修改一遍

时间复杂度是O(n*sqrt(n))的

考试的时候只想到了这些，于是就只有50分

之后我们注意到当t>1的时候，m<=n/2

则一个点到k的距离每多一个点，概率至少/2

不难发现当我们距离很大的时候，概率很小对于本题的精度要求不会有影响，这样我们就不用计算了

然后t=1我们维护分块，t>1的时候我们暴力左右50-100个计算答案就可以了

QAQ 悲桑的事情是考后改题我就只给我的程序加了一句话，然后就A了 QAQ

总结一下为什么没有看出来每次概率要/2这件事情

因为我算的时候不是滚动过去算概率的QAQ我是取ln之后exp回去的

所以什么也看不出来

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
 
const int oo=0x7fffffff;
const int maxn=100010;
int n,m,x,y,type,mn,blo;
int t,k,d,c[maxn];
int val[maxn];
int S[330][330];
long double jc[maxn];
 
void Get_pre(){
    for(int i=1;i<=blo;++i){//步长 
        for(int j=1;j<=i;++j){
            for(int k=j;k<=n;k+=i){
                S[i][j]=S[i][j]+val[k];
            }
        }
    }
    return;
}
 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]);
    jc[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]+log(i);
    blo=(int)(sqrt(n));
    Get_pre();
    while(m--){
        scanf("%d",&type);
        if(type==1){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            int v=y-val[x];
            val[x]=y;
            for(int i=1;i<=blo;++i){
                int Q=(x-1)%i+1;
                S[i][Q]+=v;
            }
        }else{
            scanf("%d%d%d",&t,&k,&d);
            for(int i=1;i<=t;++i)scanf("%d",&c[i]);
            if(t==1){
                int ans=0;
                if(d>blo){
                    ans=val[k];
                    for(int i=k+d;i<=n;i+=d)ans+=val[i];
                    for(int i=k-d;i>=1;i-=d)ans+=val[i];
                }else{
                    int Q=(k-1)%d+1;
                    ans=S[d][Q];
                }printf("%d",ans);
                printf(".0000
");
            }else{
                mn=oo;long double P=0;
                long double ans=0;
                for(int i=1;i<=t;++i){
                    mn=min(mn,c[i]);
                    P=P-jc[c[i]];
                }
                long double sum=P+jc[n-1];
                int cnt=0;P=P+jc[mn];
                for(int i=k+d;i<=n;i+=d){
                    cnt++;
                    if(cnt>100)break;
                    if(cnt>mn)break;
                    long double tmp=P-jc[mn-cnt]+jc[n-1-cnt]-sum;
                    ans=ans+exp(tmp)*val[i];
                }cnt=0;
                for(int i=k-d;i>=1;i-=d){
                    cnt++;
                    if(cnt>100)break;
                    if(cnt>mn)break;
                    long double tmp=P-jc[mn-cnt]+jc[n-1-cnt]-sum;
                    ans=ans+exp(tmp)*val[i];
                }ans=ans+val[k];
                printf("%.4lf
",(double)(ans));
            }
        }
    }return 0;
}

第二题

首先k=0是普及组的题目

k=1的时候求直径就可以了

k=n,c=1的时候问题中转换成了把这个树分割成最少的链

然后我就开始dp了，最后35分滚粗

考后跟lyc交流了一下发现我的dp做法只要加k一维多做个树上背包就能A了QAQ

我们知道k=n的时候是分割最少链

那么实际上这道题求的是把树分割成k条互不相交的链使得链上的边权和最大

不难发现这个问题具有可以dp的性质，做树上背包就可以了

转移的时候分类讨论一下QAQ

时间复杂度的分析同HAOI2015的那道一样，是O(nk)的QAQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn=10010;
const int oo=0x7fffffff/3;
int n,K,c;
int u,v,w,ans;
int h[maxn],cnt=0;
int sz[maxn];
int f[2010][2010][2];
int tmp[2010][2];
struct edge{
    int to,next,w;
}G[maxn<<1];
 
void add(int x,int y,int z){
    ++cnt;G[cnt].to=y;G[cnt].next=h[x];G[cnt].w=z;h[x]=cnt;
}
void read(int &num){
    num=0;char ch=getchar();
    while(ch<'!')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')num=num*10+ch-'0',ch=getchar();
}
void DP(int u,int fa){
    sz[u]=1;f[u][0][0]=0;f[u][1][1]=-c;
    for(int k=h[u];k;k=G[k].next){
        int v=G[k].to;
        if(v==fa)continue;
        DP(v,u);
        for(int i=0;i<=sz[u]+sz[v];++i)tmp[i][0]=tmp[i][1]=-oo;
        for(int i=0;i<=sz[u];++i){
            for(int j=0;j<=sz[v];++j){
                int now=i+j;
                 
                tmp[now][0]=max(tmp[now][0],f[u][i][0]+f[v][j][0]);
                if(now>=1)tmp[now-1][0]=max(tmp[now-1][0],f[u][i][1]+f[v][j][1]+G[k].w+c);
                 
                tmp[now][1]=max(tmp[now][1],f[u][i][0]+f[v][j][1]+G[k].w);
                tmp[now][1]=max(tmp[now][1],f[u][i][1]+f[v][j][0]);
             
            }
        }sz[u]+=sz[v];
        for(int i=0;i<=sz[u];++i){
            f[u][i][0]=max(f[u][i][0],tmp[i][0]);
            f[u][i][1]=max(f[u][i][1],tmp[i][1]);
        }
    }
    return;
}
 
int main(){
    while(scanf("%d%d%d",&n,&K,&c)==3){
        memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;ans=0;
        for(int i=1;i<n;++i){
            read(u);read(v);read(w);
            u++;v++;
            add(u,v,w);add(v,u,w);
            ans+=w;
        }
        memset(f,-0x3f,sizeof(f));
        DP(1,-1);ans<<=1;
        int S=0;
        for(int i=0;i<=K;++i){
            S=max(S,f[1][i][0]);
            S=max(S,f[1][i][1]);
        }ans-=S;
        printf("%d
",ans);
    }return 0;
}

第三题

好神的题目！花了半天才弄懂

首先我们注意到如果我们给每个字母随机值之后计算行列式

不难发现如果行列式在模2意义下不为0，则一定是No，否则可能是Yes，也可能是No

然后某个奇怪的定理指出在域F下随机带入并计算行列式，行列式为0的概率是d/F

F是域的大小，这样我们只需要找到一个足够大的域F就可以了

显然不能是模2剩余系，因为大小为2

不妨构造一个系数均为0或1的k次多项式，我们让他对一个不可约多项式M取模，构成多项式环

域的大小显然是2^k

这样我们给每个字母随机一个多项式并计算行列式就可以了

由于是在模2意义下进行，所以多项式的运算可以采用位运算加速

设多项式f，g

则f-g=f+g=f^g

对于f*g我们可以采取类似快速乘的方式分解掉g并分别与f相乘

计算行列式的时候由于我们只关注是否为0，所以把除法转换成乘法

至于对M取模，即f=min(f,f-M)

即f=min(f,f^M)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int M=0x20000035;
 
const int maxn=52;
int T,n;
int val[1010];
int A[maxn][maxn];
char s[maxn][maxn][112];
 
void read(char *s){
    char c;
    while(c=getchar(),c!='+'&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9'));
    *(s++)=c;
    while(c=getchar(),c=='+'||(c>='a'&&c<='z')||(c>='0'&&c<='9'))*(s++)=c;
    *(s++)='+';*s=0;
}
int mul(int a,int b){
    int s=0;
    while(b){
        if(b&1)s=s^a;
        a<<=1;a=min(a,a^M);b>>=1;
    }return s;
}
int Get_val(char *s){
    int now=0,t=1,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;++i){
        if(s[i]=='+')now^=t,t=1;
        else if(s[i]>='a'&&s[i]<='z')t=mul(t,val[s[i]]);
        else t=s[i]-'0';
    }return now;
}
bool Gauss(){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int k=0,to;
        for(to=i;to<=n;++to)if(A[to][i])break;
        if(to>n)return 1;
        if(to!=i)for(int j=1;j<=n;++j)swap(A[i][j],A[to][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;++j){
            if(A[j][i]){
                int x=A[i][i],y=A[j][i];
                for(int k=i;k<=n;++k){
                    A[j][k]=mul(A[j][k],x)^mul(A[i][k],y);
                }
            }
        }
    }return 0;
}
bool judge(){
    for(int i='a';i<='z';++i)val[i]=rand();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            A[i][j]=Get_val(s[i][j]);
        }
    }return Gauss();
}
 
int main(){
    srand(809495818);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)read(s[i][j]);
        bool flag=true;
        for(int T=10;T&&(flag=judge());T--);
        if(flag)printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }return 0;
}

考试的时候失误很大

首先第一题非常接近正解，然而没有注意到t>1的时候概率递减的非常快(因为我取得log之后exp回去的)

所以没有A掉

至于第二题已经成功把问题转化成分割链的问题了，而且知道了k没有限制时的DP做法

但是考试的时候没有继续思考，从而没有发现只要在加一维表示k就可以同样做DP了

第三题嘛QAQ