LOJ3342 「NOI2020」制作菜品

有(n)种材料，每种有(w_i)单位。要分配给(m)个菜，要求：

每个菜至多两种材料组成，并且都是整数单位，且总和为(k)。

(sum w_i=mk)

(nle 500,n-2le mle 5000)

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现在做思考程度都不如一年前，事实证明我真的比上一年菜了。

发现性质：如果把由两种材料组成的菜看成一条边，那么任意方案都可以调整成无环的方案。没卵用。

好啦以下才是题解：

先考虑部分分中的(m=n-1)的情况。首先对(w)从小到大排序。于是有：

1. (w_1<k)。因为(w_1)不超过平均数(frac{n-1}{n}k)，所以小于(k)。
2. (w_1+w_n>k)。反证：如果(w_1+w_nle k)，则((n-1)k=sum w_ile k+(n-2)w_n)，于是(kle w_n<w_1+w_n)，矛盾。

可证只要满足(m=n-1,sum w_i=(n-1)k,w_i>0)，则一定有解：取(w_1,w_n)配对，(w_1)被消耗完，(w_n)不会被消耗完，然后进入同样满足条件的子问题。

当(m>n-1)时：如果(forall i,w_ile k)，则此时一定是(m=n,w_i=k)，显然有解；否则(exist i,w_i>k)，将这个(w_i)变成(w_i-k)，(m)减一，还是个同样满足条件的子问题。

剩下的问题是(m=n-2)的情况：

充分必要条件：如果能把材料划分成两个集合，使得这两个集合都相当于一个独立的子问题（满足(m=n-1)的，(sum w_i=(n-1)k)）。（理解：如果把菜看成边，那么至少会连出两个连通块）

充分性显然，必要性：归纳，假设把最小的(w_i)消掉。无论怎样，消掉的(n)小于等于消掉的(m)（即(Delta(n-m)le 0)，因为不能分成两个独立的子问题，所以不可能有(n-1=m)，并且由于是用最小(w_i)和其它的消，不会出现自环，所以更不可能(n>m)）于是变成了类似的子问题。

所以只需要搞个背包，找到集合(S)满足(sum_{iin S}w_i-k=-k)即可。用bitset优化DP。求方案不需要记前驱，因为容易推知从哪里转移过来是有解的。

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using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 505
#define M 5005
#define O (N*M)
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
int n,m,k;
int w[N];
struct Ans{
	int u,v,c;
} a[M];
int cnt;
multiset<pair<int,int> > s;
int ls[N],nl;
void work0(){
	s.clear();
	for (int i=0;i<nl;++i)
		s.insert(mp(w[ls[i]],ls[i]));
	/*
	printf("ls : ");
	for (int i=0;i<nl;++i)
		printf("%d ",ls[i]);
	printf("
");
	*/
	while (!s.empty()){
		multiset<pair<int,int> >::iterator p=s.begin(),q;
		int x=p->fi,u=p->se;
		s.erase(p);
		if (s.size()==0 || x>=k){
			a[++cnt]={u,0,k};
			//printf("%d %d %d
",u,0,k);
			x-=k;
			if (x>0)
				s.insert(mp(x,u));
		}
		else{
			q=--s.end();
			int y=q->fi,v=q->se;
			s.erase(q);
			a[++cnt]={u,v,x};
			//printf("%d %d %d
",u,v,x);
			y-=k-x;
			if (y>0)
				s.insert(mp(y,v));
		}
	}
}
void work1(){
	static bitset<N*M*2> f[N];
	f[0][0+O]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (w[i]-k>=0)
			f[i]=f[i-1]|f[i-1]<<w[i]-k;
		else
			f[i]=f[i-1]|f[i-1]>>-(w[i]-k);
	if (f[n][-k+O]==0){
		printf("-1
");
		return;
	}
	nl=0;
	for (int i=n,x=-k;i>=1;--i)
		if (!f[i-1][x+O]){
			x-=w[i]-k;
			ls[nl++]=i;
		}
	work0();
	static int T[N],nt;
	nt=0;
	for (int i=n,j=0;i>=1;--i){
		for (;j<nl && ls[j]>i;++j);
		if (j==nl || ls[j]!=i)
			T[nt++]=i;
	}
	memcpy(ls,T,sizeof(int)*nt);
	nl=nt;
	work0();
}		
int main(){
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	//freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("dish.in","r",stdin);
	freopen("dish.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		for (int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&w[i]);
		cnt=0;
		if (m==n-2)
			work1();
		else{
			nl=0;
			for (int i=1;i<=n;++i)
				ls[nl++]=i;
			work0();
		}
		for (int i=1;i<=cnt;++i)
			if (a[i].v)
				printf("%d %d %d %d
",a[i].u,a[i].c,a[i].v,k-a[i].c);
			else
				printf("%d %d
",a[i].u,k);
		//printf("
");
	}
	return 0;
}