二进制

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。 二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

二进制的表现形式

计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。

正数在计算机中以原码的形式存在，而负数以补码的形式存在。

	原码	反码	补码
正数（5）	0000 0101	0000 0101	0000 0101
负数（-5）	1000 0101	1111 1010	1111 1011
小数（5.125）	0101.001	0101.001	0101.001

1. 原码：符号位+数据位，正数符号位位0，负数符号位为1；

2. 正数的原码和补码相同；负数的反码等于其原码符号位不变，其余各位取反；

3. 正数的原码和补码相同；负数的补码等于其原码取反加一；负数的原码等于其补码符号位不变，减一取反。

原码

负数：-5

原码：1000 0101

反码

负数：-5

原码：1000 0101

反码：1111 1010

补码

负数：-5
原码：1000 0101（符号位+数据位）
反码：1111 1010 （符号位不变，各位取反）
补码：1111 1011 （反码+1）

二进制的转换

二进制转十进制

正整数

二进制：0000 0101

十进制：1 + 0*2 + 1*2*2 = 5

负整数

二进制：1111 1011（负数以补码形式存在）

十进制：

• 二进制反码：1111 1010
• 二进制原码：1000 0101
• 二进制原码转十进制：- 1+0*2+1*2*2 = -5

小数

二进制：0101.001
十进制：

• 整数部分：0101 = 5
• 小数部分：1000 = 0*1/2 + 0*1/4+ 0*1/8=0.125
• 合并：5+0.125 = 5.125

十进制转二级制

正整数

十进制：5
二进制：0000 0101

负整数

十进制：-5
二进制：

• -5的原码：1000 0101
• -5的反码：1111 1010
• -5的补码：1111 1011

小数

十进制：5.125
二进制：0101.001

二进制的运算

运算符号

• 四则运算（+-*/）
• &(按位与)
• |(按位或)
• ^(按位异或)
• ~(按位取反)
• <<(按位左移)
• >>(有符号的按位右移)
• >>>(无符号的按位右移)

运算逻辑

（1）二进制数的加法

根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：

0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=0　（进位为1）
1+1+1=1 （进位为1）

例如：1110和1011相加过程如下：

（2）二进制数的减法

根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

0－0=0

1－1=0

1－0=1

0－1=1 （借位为1）

例如：1101减去1011的过程如下[1]：

（3）二进制数的乘法

二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

0×0=0

0×1=1×0=0

1×1=1

例如：1001和1010相乘的过程如下：

由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法

二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如：100110÷110的过程如下：

所以，100110÷110=110余10。

说明：乘除法分原码乘法和补码乘法。

（5）逻辑“或”运算

又称为逻辑加，可用符号“+”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

0+0=0或0∨0=0

0+1=1或0∨1=1

1+0=1或1∨0=1

1+1=1或1∨1=1

可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。

（6）逻辑“与”运算

又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

0×1=0或0·1=0或0∧1=0

1×0=0或1·0=0或1∧0=0

1×1=1或1·1=1或1∧1=1

可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

（7）逻辑“非”运算

又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：

可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

（8）逻辑“异或”运算

“异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：

00=0 或 00=0
01=1 或 01=1
10=1 或 10=1
11=0 或 11=0

可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1