【题解】子矩阵

题目描述

　　给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

　　例如，下面左图中选取第2行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个$2 imes 3$的子矩阵如右图所示。

　　9 3 3 3 9

　　9 4 8 7 4

　　1 7 4 6 6

　　6 8 5 6 9

　　7 4 5 6 1

　　的其中一个$2 imes 3$的子矩阵是

　　4 7 4

　　8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

输入格式

 　　第一行包含用空格隔开的四个整数n, m, r, c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式

 　　一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入样例

5 5 2 3

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

输出样例

6

题解

　　看起来很麻烦，但我们只需要先dfs出行的所有方案，此时我们已经知道在每一列里能选哪些数，我们只需要再dp列即可。

#include <iostream>
#include <cstring>

#define MAX_N (16 + 5)
#define MAX_M (16 + 5)

#define abs(x) ((x) >= 0 ? (x) : -(x))

using namespace std;

int n, m, r, c;
int a[MAX_N][MAX_M];
int t[MAX_N];
int vr[MAX_M], vc[MAX_M][MAX_M];
int dp[MAX_M][MAX_M]; 
int ans = 0x7f7f7f7f;

void DP()
{
    memset(vr, 0, sizeof vr);
    memset(vc, 0, sizeof vc);
    memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
    for(register int i = 2; i <= r; ++i)
    {
        for(register int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            vr[j] += abs(a[t[i]][j] - a[t[i - 1]][j]);
        }
    }
    for(register int i = 2; i <= m; ++i)
    {
        for(register int j = 1; j < i; ++j)
        {
            for(register int k = 1; k <= r; ++k)
            {
                vc[i][j] += abs(a[t[k]][i] - a[t[k]][j]);
            }
        }
    }
    for(register int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        dp[i][1] = vr[i];
        for(register int j = 2; j <= c && j <= i; ++j)
        {
             for(register int k = 1; k < i; ++k) 
             {
                 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + vr[i] + vc[i][k]);
             }
        } 
    }
    for(register int i = c; i <= m; ++i)
    {
        ans = min(ans, dp[i][c]);
    }
    return;
}

void DFS(int x, int cnt)
{
    if(cnt == r)
    {
        DP();
        return;
    }
    for(register int i = x; i + r - cnt - 1 <= n; ++i)
    {
        t[cnt + 1] = i;
        DFS(i + 1, cnt + 1);
        t[cnt + 1] = 0;
    }
    return;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> r >> c;
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(register int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            cin >> a[i][j];
        } 
    }
    DFS(1, 0);
    cout << ans;
    return 0;
}