朴素贝叶斯问题举例

假设我们现在有垃圾邮件样本、正常邮件样本、测试邮件，其中

垃圾邮件样本：
1.点击、更多、信息
2.最新、产品
3. 信息、点击、链接

正常邮件样本：
1.开会
2.信息、详见、邮件
3.最新、信息

测试邮件：
最新、产品、实惠、点击、链接

下面是计算步骤。

1 条件概率

注: 红色字体为平滑操作

$P(点击|垃圾) = frac{2+color{red}{1}}{8+color{red}{9}} = frac{3}{17}$　　　　　　$P(点击|正常) = frac{0+color{red}{1}}{6+color{red}{9}} = frac{1}{15}$

$P(更多|垃圾) = frac{1+color{red}{1}}{8+color{red}{9}} = frac{2}{17}$　　　　　　$P(更多|正常) = frac{0+color{red}{1}}{6+color{red}{9}} = frac{1}{15}$

$P(信息|垃圾) = frac{2+color{red}{1}}{8+color{red}{9}} = frac{3}{17}$　　　　　　$P(信息|正常) = frac{2+color{red}{1}}{6+color{red}{9}} = frac{3}{15}$

$P(最新|垃圾) = frac{3}{17}$ 　 　　　　　　　　$P(最新|正常) = frac{1}{15}$

$P(链接|垃圾) = frac{2}{17}$　 　　　　　　　　$P(链接|正常) = frac{1}{15}$

$P(开会|垃圾) = frac{1}{17}$　 　　　　　　　　$P(开会|正常) = frac{2}{15}$

$P(邮件|垃圾) = frac{1}{17}$　 　　　　　　　　$P(邮件|正常) = frac{2}{15}$

$P(详见|垃圾) = frac{1}{17}$　 　　　　　　　　$P(详见|正常) = frac{2}{15}$

$P(产品|垃圾) = frac{2}{17}$　 　　　　　　　　$P(产品|正常) = frac{1}{15}$

2 先验概率

$P(正常) = frac12$　　$P(垃圾) = frac12$

3 计算

$P(正常|新邮件) = frac{P(新邮件|正常)×P(正常) }{P(新邮件)}\ \ 　\ 　　　　　　　　　　　　　= frac{P(最新|正常)×P(产品|正常)×P(点击|正常)×P(链接|正常)×P(正常)}{P(新邮件)} 　　　　　　　　　　　　　\ 　　　　　　　　　　　　　\ 　　　　　= frac{ frac{2}{15}× frac{1}{15}× frac{1}{15}× frac{1}{15}× frac{1}{2} }{P(新邮件)}$
注:

1. 由于 “实惠” 未出现在样本中,因此第二个等号中缺少 P(实惠|正常)
2. 实际上第二个等号应为约等号
3. P(新邮件)为标准化常量,难以计算

同理可计算出 P(垃圾|新邮件),将二者比较即可得出预测结果