Catalan Paths
从 ((0,0)) 走到 ((n,n)), 每次只能向上或者向右走，不能穿过直线 (y=x) 的方案数。
设从 ((0,0)) 到 ((n,n)) 的路径集合为 (S)， 从 ((1,0)) 到 ((n+1,n)) 的路经集合 (S^+)， 从 ((0,1)) 到 ((n+1,n)) 的路经集合 (S^-)， 显然有 (|S^+|=inom{2n}{n},|S^-|=inom{2n}{n-1})。 对于一条路径 (Win S^+cup S^-)，让 (phi W) 表示一条路径，如果 (W) 没有穿过 (y=x)， 那么 (phi W=W)，否则 (phi W) 表示 (W) 关于 (W) 与 (y=x) 的第一个交点的对称路径。
显然对于任意一条路径 (Win S^-)， 它都会穿过 (y=x)， 并且 (phi Win S^+)， 所以 (C_n=inom{2n}{n}-inom{2n}{n-1}=frac{inom{2n}n}{n+1})
Vandermonde Determinant
(detegin{gathered}egin{pmatrix} x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & ... & x_n^{n-1} \ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & ... & x_n^{n-2} \ ... \ x_1 & x_2 & ... & x_n \ 1 & 1 & ... & 1 end{pmatrix}end{gathered}=prodlimits_{1le i<jle n}(x_i-x_j))
Proof.
( ext{The left-hand side}colonsumlimits_{sigmain S(n)}( ext{sign }sigma)x_{sigma(1)}^{n-1}x_{sigma(2)}^{n-2}cdots x_{sigma(n)}^0)
( ext{The right-hand side}colon(-1)^mx_1^{a_1}x_2^{a_2}cdots x_n^{a_n} (sumlimits_{i=1}^na_i=inom{n}{2},m=#{jcolon x_j ext{ is taken from }x_i-x_j}))
考虑建立竞赛图 (T)， 对于一条边 (e=(u,v)) 我们称 (u) 是赢家，并定义 (e) 的权重:(w(e)=x_u ext{ with sign }e=egin{cases}1 & u<v\-1 & u>vend{cases})
再定义 (w(T)=prodlimits_{ein T}w(e), ext{sign }T=prodlimits_{ein T} ext{ sign }e)
那显然就有 (prodlimits_{1le i<jle n}=sumlimits_{T}( ext{sign }T)w(T))
从另一个方面也很好解释为啥这两个很容易能看成相等的，因为竞赛图个数和 (prodlimits_{1le i<jle n}) 拆开之后的项数都是 (2^{inom{n}{2}})
于是现在只需要建立竞赛图与行列式的关系。
首先考虑所有无环的竞赛图，显然可以给 (1,2...n) 排一个序构成排列 (sigma)， 容易观察到 (w(T_{sigma})=x_{sigma(1)}^{n-1}x_{sigma(2)}^{n-2}cdots x_{sigma(n)^0}, ext{ sign }T_{sigma}=(-1)^{ ext{inv }sigma}= ext{sign }sigma)
所以有 (det=sumlimits_{sigmain S(n)}( ext{sign }sigma)w(T_{sigma}))
现在考虑想办法过滤掉有环的竞赛图，让集合 (S) 表示所有有环的竞赛图集合， (S^+={Tin Scolon ext{sign }T=1},S^-={Tin Scolon ext{sign }T=-1})
对于一个有环的竞赛图 (T)，显然会存在一些点对使得其入度相同，我们找出所有点对中最小的点 (i_0) 和与 (i_0) 入度相同的最小的点 (j_0)， 那么对于一个点 (k
ot= i_0, j_0)， 不妨设 (i_0
ightarrow j_0)，那么三元组 (i_0,j_0,k) 之间的连边关系只可能有下面四种情况:
显然有 (# ext{II}=# ext I + 1)
考虑设 (phi T) 表示图 (T) 将边 ((i_0,j_0)) 反向后得到的新图，显然有 ( ext{sign }T=- ext{sign }phi T,w(T)=w(phi T))，且一个在 (S^+) 中，一个在 (S^{-}) 中，于是这些图的贡献会被抵消掉，故原式得证.
The Pfaffian
称对于集合 ({1,2...n}) 的任意一个两两划分为在 ({1,2...n})上的一个匹配 (mu)，写作 (mu=i_1j_1,i_2j_2,...,i_{n/2}j_{n/2} ext{ with }i_k<j_k ext{ for all }k)，对于一个斜对称矩阵 (A)，我们记一个符号 (a_{mu}=a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}cdots a_{i_{n/2}j_{n/2}})
为了定义 (mu) 的符号，考虑画图列出 (1,2...;#mu) 表示匹配交叉的数量，并且 ( ext{sign }mu=(-1)^{#mu})
对于这个矩阵 (A)，我们定义 (pfaffian ext{ Pf}(A)=sumlimits_{mu}( ext{sign }mu)a_{mu})
那么有定理 (det A=[ ext{Pf}(A)]^2)
Proof.
首先还是考虑行列式的常见形式 (det A=sumlimits_{sigmain S(n)}( ext{sign }sigma)a_{sigma} (a_{sigma}=a_{1sigma(1)}a_{2sigma(2)}cdots a_{nsigma(n)}))
定义 (S) 是所有排列中至少包含一个奇环的排列的集合。对于 (sigmain S, ext{let }sigma=sigma_1sigma_2cdotssigma_t) 为其环分解，其中 (sigma_1) 是所有奇环中最小标号所在的奇环，然后定义
显然除了 (sigma_1=(k)) 的情况有 (a_{sigma}=-a_{sigma'},( ext{sign }sigma)a_{sigma}=-( ext{sign }sigma')a_{sigma'})， 而对于 (sigma_1=(k)) 的情况，显然有 (a_{sigma}=0)。
于是可以获得结论:(det A=sumlimits_{sigmain E}( ext{sign }sigma)a_{sigma})，其中 (Ein S(n)) 是所有只包含偶环的排列。
要证明定理，需要找到一个 ((mu_1,mu_2)) 到 (sigmain E) 的双射关系 (phi) 使得 (( ext{sign }mu_1)a_{mu_1}cdot ( ext{sign }mu_2)a_{mu_2}=( ext{sign }sigma)a_{sigma})，这里简单举一个例子:
先不考虑符号的问题观察一番。
考虑正向拼凑 (sigma)， 考虑如下过程:每次选出未访问过的最小标号点，然后依次沿着 (mu1,mu2) 中的匹配边走，最后一定会走出若干个偶环。
考虑反向求 (mu1,mu2) ，考虑如下过程:每次选一个偶环，从上面的最小标号点开始依次把边划分给 (mu1,mu2)。
现在就只用考虑符号是否能对上。
假设 (phi(mu_1,mu_2)=(-1)^{e(sigma)}a_{sigma},e_(sigma)=#{icolon i>sigma(i)})
令 (sigma) 的环分解是 (sigma_1sigma_2cdotssigma_t;) 那么 ( ext{sign }sigma=(-1)^t)
所以只需要证明 ( ext{sign }mu_1cdot ext{sign }mu_2=(-1)^{e(sigma)+t}) 即 (#mu_1+#mu_2-e(sigma)equiv t ( ext{mod 2}))
容易证明，对于这个环分解，如果我们交换 (i,i+1) 的位置，得到的 (#mu_1'+#mu_2'-e(sigma)') 和 (#mu_1+#mu_2-e(sigma)) 奇偶性相同，故可以把 (sigma) 经过多次交换变成
把匹配画出来显然长这样
显然对于这个东西， (#mu_1'=#mu_2'=0,e(sigma)'=t) ，故原定理得证.