快速幂求解

顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效

用法：用于求解 a 的 b 次方，而b是一个非常大的数，用O(n)的复杂度会超时。那么就需要这个算法，注意它不但可以对数求次幂，而且可用于矩阵快速幂。

把b转换成二进制数，该二进制位数有logb位；该二进制数第i位的权为2^i-1

 

例如：

     11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算

 

 对数求次幂：(求a^b次方的值) 时间复杂度为logb

public static int Fast_pow(int a, int b){  
        int ans=1;//存放最后结果 
        int mod = 101;//存放取模值
        while(b>0)  {  
            if(b%2==1){  
                ans=(ans*a)%mod;  
            }
            a=(a*a)%mod;  
            b >>= 1;  
        }  
        return ans;  
    }

矩阵求次幂例题:

/**
 * 网易笔试第五题:时间不超过1秒
 * 输入数据包括两行：
 * 第一行为两个整数n(2 ≤ n ≤ 50)和k(1 ≤ k ≤ 2000000000),以空格分隔
 * 第二行为魔力手环初始的n个数，以空格分隔。范围都在0至99.
 * 输出描述:输出魔力手环使用k次之后的状态，以空格分隔，行末无空格。

    输入例子:
    3 2
    1 2 3
    
    输出例子:
    8 9 7

 */

import java.util.Scanner;


public class Main {
    private final static int MOD = 100;
    public static void main(String[] args) {
        //时间复杂度(n^3)logk 
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int k = in.nextInt();
        
        int[][] ans= new int[1][n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            ans[0][i] = in.nextInt();
        }
        
        //构造满足条件的矩阵
        int[][] src = new int[n][n];
        for(int i = 0;  i < n; i++){
            
            if(i < (n-1)){
                src[i][i] = 1;
                src[i+1][i] = 1;
            }else{
                src[i][i] = 1;
                src[0][i] = 1;
            }
        }
        
        //快速矩阵幂
        while(k > 0){
            if(k % 2 == 1){//相当于k&1
                ans = MatrixMul(ans, src);
            }
            src = MatrixMul(src, src);
            k >>= 1;
        }
        
        System.out.print(ans[0][0]);
        for(int i = 1; i < ans[0].length; i++){
            System.out.print(" "+ans[0][i]);
        }
        in.close();
    }
    
    /**
     * 矩阵乘法运算
     * @param a 矩阵a 
     * @param b 矩阵b  a和b满足乘法要求a[0].length==b.length
     * @return 
     */
    public static int[][] MatrixMul(int[][] a,int[][] b){
        int[][]  tmp = new int[a.length][a[0].length];
        
        for(int i = 0;  i < a.length; i++){
            for(int j = 0; j < b[0].length; j++){
            
                for( int  k = 0; k < a[0].length; k++){
                    tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] *b[k][j])%MOD; 
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
}